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Krümmung

Krümmung

Merksatz

Gegeben ist eine Funktion mit zugehörigem Graphen . Das Krümmungsverhalten von lässt sich wie folgt an der zweiten Ableitung ablesen:

Das Krümmungsverhalten von kann sich nur an Definitionslücken von und Nullstellen von ändern.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion durch

In welchem Bereich ist der Graph von rechtsgekrümmt?

Gesucht sind also diejeningen Werte für , für welche gilt. Zunächst werden dafür die ersten beiden Ableitungen von bestimmt:

Damit gilt:
Damit ist für alle der Graph von rechtsgekrümmt.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Untersuche das Krümmungsverhalten folgender Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Für die zweite Ableitung von gilt:
    Für ist der Graph von damit linksgekrümmt und für rechtsgekrümmt.
  2. Für die zweite Ableitung von gilt:
    Der Graph von ist damit linksgekrümmt.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Ein Straßenverlauf wird für beschrieben durch den Graphen der Funktion mit

Eine Längeneinheit entspricht dabei .

Ein Fahrradfahrer befährt diese Straße. Berechne, an welchem Punkt der Lenker des Radfahrers in neutraler Position steht.

Lösung zu Aufgabe 2

Der Straßenverlauf ist gegeben durch den Graphen von wobei gilt. Gesucht sind diejenigen Stellen, an welchen die Straße weder rechts- noch linksgekrümmt ist.

Es werden zuerst die ersten beiden Ableitungen von bestimmt:

Um die Stellen zu bestimmen, an denen die Straße keine Krümmung besitzt, werden die Nullstellen von berechnet:
Weiter wird der Funktionswert an der Stelle um damit den gesuchten Punkt zu erhalten:
Der Lenker des Radfahrers steht also beim Punkt in neutraler Position.

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

Untersuche das Krümmungsverhalten der Graphen folgender Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen der Funktion bestimmt:
    Damit gilt
    Für ist der Graph von damit linksgekrümmt und für rechtsgekrümmt.
  2. Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen der Funktion bestimmt:
    Damit gilt
    Für ist der Graph von damit rechtsgekrümmt und für oder linksgekrümmt.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018