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Kurvendiskussion

Symmetrie

Symmetrie

Allgemeines

Es gibt zwei verschiedene Arten von Symmetrien, die wir hier betrachten: Zum einen die Achsensymmetrie und zum anderen die Punktsymmetrie. Die für uns wichtigsten Spezialfälle sind die Achsensymmetrie zur -Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung. In diesem Artikel werden wir uns anschauen was Symmetrie bedeutet und wie man sie rechnerisch nachweist.

Achsensymmetrie zur y- Achse

Eine Funktion ist genau dann Achsensymmetrisch zur -Achse, wenn der Graph auf der linken Seite der -Achse ein Spiegelbild der rechten Seite ist. Rechnerisch bedeutet dies, dass gelten muss. Im Schaubild ist das ganz klassische Beispiel zu sehen. Die Symmetrieachse ist dort rot dargestellt.

Damit der Graph einer Funktion achsensymmetrisch zur -Achse ist, muss gelten:

Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form
kann man spezielle Symmetrien auf einen Bilck erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich gerade Exponenten, besteht Symmetrie zur -Achse.

Ist achsensymmetrisch zur - Achse?

Wir setzen erst in die Funktion ein und überprüfen dann, ob :
Somit haben wir die Achsensymmetrie zur - Achse nachgewiesen. Im nachfolgenden Schaubild ist die Symmetrie gut zu erkennen.

  • in einsetzen.
  • Gilt ? Anders gefragt: Entspricht die linke der rechten Seite der Gleichung?
  • Dann ist die Funktion symmetrisch zur -Achse.

Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse

Was wir im vorherigen Abschnitt gelernt haben, ist ein guter Einstieg in das Thema “Symmetrie” und stellt recht plakativ dar worauf es ankommt. Wenn wir Achsensymmetrie nachweisen wollen, wählen wir eine Achse - entlang der wir Symmetrie vermuten - und prüfen ob diese vorliegt. Bislang haben wir dazu die -Achse verwendet. Diese wird beschrieben durch die Gleichung . Die Bedingung, die wir im letzten Abschnitt verwendet haben, war: .

Nun sind Funktionen nicht immer entlang der -Achse symmetrisch. Die bislang verwendete Bedingung ist also nur für diesen einen Spezialfall (Symmetrieachse bei ) gültig. Für alle anderen vertikalen Achsen verwenden wir folgenden Merksatz um Symmetrie zu überprüfen:

Der Graph der Funktion ist genau dann symmetrisch zu der Achse , wenn
für alle gilt.

beschreibt lediglich den -Wert der vermuteten Symmetrieachse. Zur Verdeutlichung:

Wir haben in diesem Abschnitt schon mehrmals über vermutete Symmetrieachsen gesprochen. Da der obere Merksatz nur dazu da ist Symmetrie entlang einer potenziellen Symmetrieachse zu prüfen, müssen wir zuvor überlegen welche Achsen in Frage kommen. Dazu haben wir folgende Optionen:
  1. Die zu prüfende Symmetrieachse wird in der Aufgabenstellung explizit genannt.
  2. Es handelt sich um eine in -Richtung verschobene Funktion.
  3. Wir berechnen die Extremstellen der Funktion.
Option a)
Setze einfach die angegebene Achsengleichung in die Formel ein.

Option b)
Schaue dir an um welchen Wert die Funktion in -Richtung verschoben wurde.

wurde in -Richtung um nach rechts verschoben.

Die Achse mit der Gleichung ist ein guter Kandidat für eine Achsensymmetrie. Wenn du dir bei diesem Thema noch unsicher bist, schaue dir gerne den Artikel Graphen verschieben und spiegeln an.

Option c)
Berechne die Extremstellen der Funktion.

Ist der Graph der Graph der Funktion achsensymmetrisch? Zunächst bestimmen wir die Extremwerte um potentielle Symmetrieachsen zu finden:
Durch berechnen der notwendigen Bedingung und durch überprüfen der hinreichenden Bedingung erhalten wir als potentielle Symmetrieachse. Als nächstes überprüfen wir die Bedingung aus dem Merksatz:
Somit haben wir gezeigt, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zu der Achse ist.

Die Berechnung der Extremstellen bedeutet zwar mehr Rechenaufwand, kann jedoch immer angewendet werden.

Punktsymmetrie zum Ursprung

Eine weitere Form der Symmetrie ist die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie genannt. Hier wird eine Funktion nicht entlang einer Achse sondern über einen Punkt gespiegelt. Eine Funktion gilt als punktsymmetrisch, wenn sie durch eine Spiegelung am Symmetriepunkt auf sich selbst abgebildet wird.

Dreht man den roten Teil des Graphens 180° um den Symmetriepunkt und erhält den blauen, ist die Funktion punktsymmetrisch. Diese graphische Betrachtung wird uns in einer Aufgabe aber leider nicht helfen Punktsymmetrie nachzuweisen. Deshalb gibt es folgenden Merksatz:

Gilt
dann ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bei ganzrationalen Funktionen, also Funktionen der Form
kann man spezielle Symmetrien auf einen Bilck erkennen. Hat das ausmultiplizierte Polynom ausschließlich ungerade Exponenten, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Ist der Graph von punktsymmetrisch zum Ursprung?

Wir überprüfen die Bedingung :
Die Funktion ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung.

Punktsymmetrie zu einem beliebigen Punkt

Der Graph einer Funktion kann auch punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem sein. Hier verfahren wir ähnlich wie beim Abschnitt "Achsensymmetrie zu einer beliebigen Achse". Auch hier wird beim Überprüfen die Funktion auf den Ursprung zurück geführt und getestet ob sie dort symmetrisch ist. So ist zum Beispiel symmetrisch zum Ursprung und die um 2 Werte nach rechts und einen nach oben verschobene Funktion symmetrisch zu dem Punkt . Potentielle Symmetriepunkte sind Wendestellen.

Der Graph einer Funktion ist genau dann Symmetrisch zu dem Punkt , falls
gilt.

Ist der Graph von punktsymmetrisch?

Um einen Kandidaten zu finden bestimmen wir zunächst die Wendestelle der Funktion. Diese finden wir durch die Nullstellen der 2. Ableitung. In diesem Fall ist die Wendestelle . Wir prüfen anhand des Merksatzes ob die Bedingung für Punktsymmetrie erfüllt wird.
Mit den oben durchgeführten Rechnungen haben wir gezeigt, dass die Funktion Punktsymmetrisch zu dem Punkt ist.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Untersuche den Graphen der Funktion mit

auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse.

Lösung zu Aufgabe 1

Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur -Achse, denn es gilt

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Untersuche die Graphen der folgenden Funktionen auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse:

Lösung zu Aufgabe 2

  1. ist punktsymmetrisch, denn:
  2. hat keine Symmetrie, denn es gilt weder noch für alle .

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Untersuche den Graphen der Funktion mit

auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse.

Lösung zu Aufgabe 3

Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn:

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist eine Funktion , deren Graphen symmetrisch zur -Achse ist, und eine Funktion , Die Funktion ist definiert als das Produkt der Funktionen und , also

Was kann über die Symmetrieeigenschaften des Graphen der Funktion ausgesagt werden, wenn der Graph der Funktion
  1. auch achsensymmetrisch zur -Achse ist?
  2. punktsymmetrisch zum Ursprung ist?
  3. keine Symmetrie aufweist?

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Falls sowohl der Graph der Funktion als auch der Graph der Funktion symmetrisch zur -Achse sind, so gilt dies auch für den Graphen der Funktion mit , denn es gilt:
  2. Falls der Graph der Funktion symmetrisch zur -Achse ist und der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, so ist der Graph der Funktion mit punktsymmetrisch zum Ursprung, denn es gilt:
  3. Falls der Graph der Funktion symmetrisch zur -Achse ist und der Graph der Funktion keine Symmetrie aufweist, so besitzt der Graph der Funktion mit wiederum keine Symmetrie.

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Gesucht ist eine mögliche Funktionsgleichung für

  1. eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion.
  2. eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion.
  3. eine achsensymmetrische -Funktion der Form , wobei und ganzrationale Funktionen sind.
  4. eine punktsymmetrische -Funktion der Form , wobei und ganzrationale Funktionen sind.

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur -Achse. Also zum Beispiel:
  2. Ganzrationale Funktionen mit nur ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch. Also zum Beispiel:
  3. Wie in (a) reicht es hier ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten zu wählen. Also zum Beispiel:
  4. Wie in (b) reicht es hier für eine ganzrationale Funktion mit nur ungeraden Exponenten zu wählen. Für bietet sich eine ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten an. Also zum Beispiel:

Aufgabe 6

- Schwierigkeitsgrad:

Untersuche die Graphen der folgenden Funktionen auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse:

Lösung zu Aufgabe 6

Gegeben ist jeweils eine Funktion , deren Graph auf Symmetrie untersucht werden soll:

  1. Der Graph von ist achsensymmetrisch, denn:
  2. Der Graph von ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn:
  3. Der Graph von hat keine Symmetrie, denn:

Aufgabe 7

- Schwierigkeitsgrad:

Untersuche ob die folgenden Funktionen eine Symmetrie zu einer beliebigen Achse aufweisen: 1. 1.

Lösung zu Aufgabe 7

  1. hat eine Extremstelle bei , deswegen prüfen wir ob die Funktion achsensymmetrisch zu dieser Achse ist. Dafür überprüfen wir die Bedingung:
    Bei beiden Werten erhalten wir das gleiche Ergebnis, also ist und damit die Bedingung für Achsensymmetrie erfüllt.
  2. Auch hier berechnen wir zunächst den Extremwert, in diesem Fall ist er . Also Prüfen wir wieder auf die Bedingung für Achsensymmetrie:
    Also ist die Bedingung für Achsensymmetrie erfüllt.

Aufgabe 8

- Schwierigkeitsgrad:

Untersuche ob die folgenden Funktionen Symmetrien zu einem beliebigen Punkt aufweisen 1. 1.

Lösung zu Aufgabe 8

  1. hat eine Wendestelle bei , deswegen prüfen wir ob die Funktion punktsymmetrisch zu diesem Punkt ist. Dafür überprüfen wir die Bedingung:
    und damit die Bedingung für punktsymmetrie erfüllt.
  2. Auch hier berechnen wir zunächst die Wendestelle, in diesem Fall ist er . Also Prüfen wir wieder auf die Bedingung für Punktsymmetrie:
    Also ist die Bedingung für Punktsymmetrie erfüllt.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 30. 05. 2018