cross

Symmetrie

Symmetrie

Merksatz

  • Gilt , dann ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  • Gilt , dann ist achsensymmetrisch zur -Achse.
  • Setze zum Prüfen von Symmetrie zunächst stets in den Funktionsterm ein und vergleiche das Ergebnis mit .
  • Ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur -Achse.(Beispiel: ).
  • Ganzrationale Funktionen mit nur ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung. (Beispiel: ).
  • Beispiel

    Die Funktion ist symmetrisch zur -Achse, denn es gilt:

    Die Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, denn es gilt:

    Beispiel

    Die Funktion ist symmetrisch zur -Achse, denn es gilt:

    Die Funktion ist symmetrisch zum Ursprung, denn es gilt:

    Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

    Untersuche den Graphen der Funktion mit

    auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse.

    Lösung zu Aufgabe 1

    Der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur -Achse, denn es gilt

    Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

    Untersuche die Graphen der folgenden Funktionen auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse:

    Lösung zu Aufgabe 2

    Gegeben ist jeweils eine Funktion , die auf Symmetrie untersucht werden soll:

    1. ist punktsymmetrisch, denn:
    2. hat keine Symmetrie, denn es gilt weder noch für alle .

    Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

    Untersuche den Graphen der Funktion mit

    auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse.

    Lösung zu Aufgabe 3

    Der Graph der Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn:

    Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: **

    Gegeben ist eine Funktion , deren Graphen symmetrisch zur -Achse ist, und eine Funktion , Die Funktion ist definiert als das Produkt der Funktionen und , also

    Was kann über die Symmetrieeigenschaften des Graphen der Funktion ausgesagt werden, wenn der Graph der Funktion
    1. auch achsensymmetrisch zur -Achse ist?
    2. punktsymmetrisch zum Ursprung ist?
    3. keine Symmetrie aufweist?

    Lösung zu Aufgabe 4

    1. Falls sowohl der Graph der Funktion als auch der Graph der Funktion symmetrisch zur -Achse sind, so gilt dies auch für den Graphen der Funktion mit , denn es gilt:
    2. Falls der Graph der Funktion symmetrisch zur -Achse ist und der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, so ist der Graph der Funktion mit punktsymmetrisch zum Ursprung, denn es gilt:
    3. Falls der Graph der Funktion symmetrisch zur -Achse ist und der Graph der Funktion keine Symmetrie aufweist, so besitzt der Graph der Funktion mit wiederum keine Symmetrie.

    Aufgabe 5

    Gesucht ist eine mögliche Funktionsgleichung für

    1. eine achsensymmetrische ganzrationale Funktion.
    2. eine punktsymmetrische ganzrationale Funktion.
    3. eine achsensymmetrische -Funktion der Form , wobei und ganzrationale Funktionen sind.
    4. eine punktsymmetrische -Funktion der Form , wobei und ganzrationale Funktionen sind.

    Lösung zu Aufgabe 5

    1. Ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten sind achsensymmetrisch zur -Achse. Also zum Beispiel:
    2. Ganzrationale Funktionen mit nur ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch. Also zum Beispiel:
    3. Wie in (a) reicht es hier ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten zu wählen. Also zum Beispiel:
    4. Wie in (b) reicht es hier für eine ganzrationale Funktion mit nur ungeraden Exponenten zu wählen. Für bietet sich eine ganzrationale Funktionen mit nur geraden Exponenten an. Also zum Beispiel:

    Aufgabe 6 – Schwierigkeitsgrad: *

    Untersuche die Graphen der folgenden Funktionen auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse:

    Lösung zu Aufgabe 6

    Gegeben ist jeweils eine Funktion , deren Graph auf Symmetrie untersucht werden soll:

    1. Der Graph von ist achsensymmetrisch, denn:
    2. Der Graph von ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn:
    3. Der Graph von hat keine Symmetrie, denn:

    Aufgabe 7 – Schwierigkeitsgrad: *

    Untersuche folgende Funktionen auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse:

    Lösung zu Aufgabe 7

    Gegeben ist jeweils eine Funktion , deren Graph auf Symmetrie untersucht werden soll:

    1. Der Graph von ist achsensymmetrisch zur -Achse, denn:
    2. Der Graph von hat keine Symmetrie, denn:
    3. Der Graph von ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn:

    Aufgabe 8 – Schwierigkeitsgrad: *

    Untersuche den Graphen der Funktion mit

    auf Symmetrie zum Ursprung bzw. zur -Achse.

    Lösung zu Aufgabe 8

    Der Graph der Funktion ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung, denn es gilt:

    noch achsensymmetrisch zu -Achse, denn es gilt:

    Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018