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Umkehrfunktion

Umkehrfunktion

Merksatz

Sei eine Funktion. Gilt und , hebt also die Wirkung von beziehungsweise hebt die Wirkung von gerade auf, so heißt die Umkehrfunktion von .
Für die Definitions- und Wertebereiche beider Funktionen gelten:

  • .

Der Graph von geht aus dem Graphen von mittels Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden hervor.

Nicht jede Funktion lässt sich umkehren.

Beispiel

Gegeben ist die Exponentialfunktion . Die Umkehrfunktion von ist die Funktion , denn es gelten:

Weiter gilt und . Somit ist und .

In der Skizze sieht man deutlich, wie der Graph von durch Spiegelung des Graphen von an der ersten Winkelhalbierenden hervorgeht.

Umkehrbarkeit

Eine Funktion , definiert auf einem Intervall , ist umkehrbar, falls der Graph von auf streng monoton ist.

Berechnung der Umkehrfunktion

Gegeben ist die Funktion durch

Bestimme die Umkehrfunktion von .
  • Schritt 1: Ersetze durch :
  • Schritt 2: Löse diese Gleichung nach auf:
  • Schritt 3: Ersetze auf der linken Seite durch und auf der rechten Seite durch . Drehe die Gleichung bei Bedarf um:

Die Gleichung für die Umkehrfunktion ist damit gegeben durch

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Entscheide, ob folgende Funktionen auf dem jeweiligen Intervall umkehrbar sind:

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Funktion ist für streng monoton steigend, also ist sie umkehrbar auf .
  2. Es gilt . Für ist , also ist auf umkehrbar.
  3. Es gilt . Weiter ist negativ für und positiv für . Also ist nicht umkehrbar.
  4. Es gilt
    Diese Funktion ist für stets positiv, also ist umkehrbar auf .

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Gib jeweils ein größtmögliches Intervall an, auf dem die folgende Funktion umkehrbar ist:

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Es gilt und daher
    Damit ist auf bzw. auf jeweils umkehrbar.
  2. Es gilt . Nullsetzen der Ableitung liefert
    Durch Einsetzen von Testwerten (z.B. und ) erhält man
    Also ist auf bzw. auf jeweils umkehrbar.

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

Bestimme jeweils die Umkehrfunktion von auf dem angegebenen Intervall:

  1. .

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Man geht vor wie im Rezept:
    Ersetze durch :
    Löse die Gleichung nach auf:
    Schreibe die Gleichung als Funktionsgleichung um.
    Die Umkehrfunktion ist
  2. Auch hier geht man vor wie im Rezept:
    Ersetze durch :
    Löse die Gleichung nach auf:
    Schreibe die Gleichung als Funktionsgleichung um.
    Die Umkehrfunktion ist

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: **

Bestimme jeweils die Umkehrfunktion von auf dem angegebenen Intervall:

  1. .

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Man geht vor wie im Rezept:
    Ersetze durch :
    Löse die Gleichung nach auf:
    Schreibe die Gleichung als Funktionsgleichung um. Die Umkehrfunktion ist
    • In diesem Fall wird zunächst auch wie im Rezept vorgegangen:
      Ersetze durch :
      Diese Gleichung kann nun allerdings nicht einfach nach aufgelöst werden.
      Daher wird zunächst quadratisch ergänzt:
      und anschließend der Term mit isoliert:
      Aus der Aufgabenstellung kann abgelesen werden, dass für den Definitionsbereich von gilt und damit
      Also:
      Damit ist die Umkehrfunktion von gegeben durch auf .

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: *

Gib jeweils ein größtmögliches Intervall an, auf dem die folgende Funktion umkehrbar ist:

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Es gilt und daher
    Damit ist auf bzw. auf jeweils umkehrbar.
  2. Es gilt . Nullsetzen der Ableitung liefert
    Da die Ableitung niemals wird, wechselt sie auch niemals das Vorzeichen. Somit ist auf ganz streng monoton und daher umkehrbar. Das größtmögliche Intervall, auf dem umkehrbar ist, ist also .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018