cross
Kurvendiskussion

Verhalten im Unendlichen

Erklärung

Einleitung

Mit dem Verhalten im Unendlichen ist das Verthalten

  • der Funktionswerte für betragsmäßig große Werte von x ( ) oder
  • des Graphen einer Funktion für betragsmäßig große Werte von x ( )
gemeint. Dazu werden die Grenzwerte und untersucht. In diesem Abschnitt lernst du Rechenregeln für den Umgang mit Grenzwerten kennen. Die Stetigkeit der Funktionen wird dabei vorausgesetzt.

Grenzwertsätze

Für stetige Funktionen und gelten folgende Grenzwertsätze:
  • Summenregel
  • Differenzenregel
  • Produktregel
  • Quotientenregel
    Hier muss zusätzlich noch gelten, dass gilt, ansonsten ist es etwas komplizierter.
    Die Sätze gelten natürlich auch für .

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Wie verhalten sich die folgenden Funktionen für ?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion. Also betrachtet man nur den Term mit der höchsten Potenz. Für gilt:
    Für gilt:
  2. Der Funktionsterm von ist ein Produkt einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion. Für den Fall handelt es sich um einen unbestimmten Ausdruck, bei der keine Termumformung hilft. Gesucht ist also die dominanteste Komponente des Terms, das ist hier . Für gilt daher
    Für liegt kein unbestimmter Ausdruck vor. Es gilt:
  3. Der Funktionsterm von ist ein Produkt einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion. Für tritt ein unbestimmter Ausdruck auf, bei der keine Termumformung hilft. Gesucht ist also die dominanteste Komponente des Terms, das ist hier . Also gilt:
    Für wird das Grenzwertverhalten jedes Ausdrucks bestimmt. Es gilt:
  4. Der Funktionsterm von ist ein Produkt einer ganzrationalen Funktion und einer Exponentialfunktion. Für tritt ein unbestimmter Ausdruck auf, bei der keine Termumformung hilft. Gesucht ist also die dominanteste Komponente des Terms, das ist hier . Für gilt:
    Für gilt:
  5. Für wird das Grenzwertverhalten jedes Ausdrucks berechnet. Es gilt:
    Für gilt:
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Wie verhalten sich die folgenden Funktionen für ?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion. Also betrachtet man nur den Term mit der höchsten Potenz. Für gilt:
    Für gilt:
  2. Für wird das Grenzwertverhalten jedes Ausdrucks berechnet. Es gilt:
    Für gilt:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Die Wirkstoffmenge eines Medikamentes im Blut lässt sich durch die folgende Funktion beschreiben:

mit in Minuten und in . Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden?

Lösung zu Aufgabe 3

Gesucht ist die langfristige Menge des Wirkstoffes im Blut, also das Verhalten von für . Es wird das Grenzwertwertverhalten jedes einzelnen Ausdrucks bestimmt. Es gilt:

Langfristig wird sich eine Wirkstoffmenge von im Blut befinden.

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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 18. 12. 2018