cross
Nullstellen

Newtonsches Näherungsverfahren

Erklärung

Einleitung

Wenn der Graph einer Funktion f die x-Achse schneidet, so ergibt sich der x-Wert des Punktes als sogenannte Nullstelle durch Lösen der Gleichung . Die bekannten Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen einer Funktion sind

Das Newton Verfahren kommt dann zum Einsatz, wenn alle anderen Verfahren nicht zum Ziel führen. In diesem Abschnitt lernst du, wie du eine Näherungslösung für eine Geichung besime kannst.

Gegeben ist die Funktion durch . Gesucht ist die Nullstelle der Funktion im Intervall mit einer Genauigkeit von zwei Nachkommastellen.
  • Schritt 1: Fertige eine Wertetabelle an: Je nach Intervallgröße kannst du hierbei ganze Zahlen verwenden oder in kleineren Schritten vorgehen:
  • Schritt 2: Wähle einen geeigneten Startwert. Wähle einen geeigneten Startwert für das Näherungsverfahren, optimalerweise bereits nahe der Nullstelle, zum Beispiel:
  • Schritt 3: Bestimme eine Tangentengleichung und deren Nullstelle. Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle und bestimme deren Nullstelle . Diese Nullstelle ist dann die Näherung im ersten Schritt:
    also:
  • Schritt 4: Verfahre nun mit der Stelle genauso wie gerade eben mit der Stelle , um zu erhalten, also
  • Schritt 5: Erstelle eine Tabelle mit den einzelnen Näherungswerten. Insgesamt gilt für die einzelnen Schritte
    Hier kann man direkt erkennen, dass sich die dritte Nachkommastelle bereits ab nicht mehr ändert. Eine Näherung der Nullstelle mit der geforderten Genauigkeit (zwei Nachkommastellen) lautet also
    Durch die vorangegangene Wertetabelle wurde der Startwert so gut gewählt, dass nur wenige Iterationsschritte nötig waren.
    Beachte, dass das Newton-Verfahren abbricht, falls bei einem Interationsschritt die Tangente waagrecht ist. Dann muss ein neuer, geeigneterer Startwert gefunden werden.

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Funktion mit Definitionsmenge . Für die Ableitung der Funktion gilt:

  1. Bestimme mit dem Newton-Verfahren einen Näherungswert für die Nullstelle von , die im Intervall liegt. Nutze dabei als Startwert eine der Intervallgrenzen und führe das Verfahren mit dem Taschenrechner möglichst oft durch.
  2. Der Näherungswert könnte Dir bekannt vorkommen. Überprüfe Deine Vermutung.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Für den Näherungswert gilt nach dem Newton-Verfahren:
    Als Startwert wird entweder oder gewählt. Das Verfahren konvergiert dann nach etwa 5 Schritten offensichtlich gegen die Eulersche Zahl .
  2. Vermutung: Nullstelle bei . Überprüfung: .

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Berechne mithilfe des Newton-Verfahrens näherungsweise (auf zwei Nachkommastellen genau) die Nullstellen der folgenden Funktionen in den jeweiligen Intervallen :

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Wertetabelle anfertigen
    Startwert wählen Die Nullstelle liegt vermutlich in der Nähe von . Tangente an den Graphen und deren Nullstelle berechnen Es gilt:
    und somit
    Tabelle mit Näherungswerten Es ergeben sich damit folgende Werte
    Nach dem vierten Iterationsschritt ändert sich die zweite Nachkommastelle nicht mehr und die Näherung der Nullstelle mit der gesuchten Genauigkeit lautet somit
  2. Wertetabelle anfertigen
    Startwert wählen Die Nullstelle liegt vermutlich in der Nähe von . Tangente an den Graphen und deren Nullstelle berechnen Es gilt:
    und somit
    Tabelle mit Näherungswerten Es ergeben sich damit folgende Werte
    Nach dem fünften Iterationsschritt ändert sich die zweite Nachkommastelle nicht mehr und die Näherung der Nullstelle mit der gesuchten Genauigkeit lautet somit
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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 04. 01. 2019