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Nullstellen

Polynomdivision



Erklärung

Das Prinzip der Polynomdivision

Für eine ganzrationale Funktion gilt:

Ist eine Nullstelle von , so ist das Ergebnis der Polynomdivision
wieder eine ganzrationale Funktion.
Die Nullstellen dieses Ergebnisses zusammen mit sind die Nullstellen von .
Häufig muss die erste Nullstelle geraten werden.

Man untersucht dabei zunächst die (positiven und negativen) Teiler des Absolutglieds von , also der Zahl ohne die Variable .

Das folgende Beispiel zeigt dir, wie du mithilfe der Polynomdivision die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades bestimmen kannst:

Bestimme die Nullstellen der Funktion mit
Gesucht sind also die Lösungen der Gleichung
Hier helfen weder der Satz vom Nullprodukt noch Substitution weiter. Daher muss eine erste Nullstelle geraten werden.

Das Absolutglied ist . Die Menge der Teiler von ist gegeben durch .
Man bestimmt nun von jedem dieser Teiler den Funktionswert , bis man als Ergebnis 0 erhält.

Setzt man zum Beispiel ein, so erhält man:
Das Ergebnis der Polynomdivision ist also wieder eine ganzrationale Funktion.
Es gilt:
Das Ergebnis ist . Die Funktion wird nun auf Nullstellen untersucht. Dabei erhält man mit der --Formel / Mitternachtsformel:
Somit sind die Nullstellen der Funktion gegeben durch:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Führe folgende Polynomdivisionen durch

Lösung zu Aufgabe 1

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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Die Teiler des Absolutglieds von sind gegeben durch:
    Ausprobieren zeigt, dass eine Nullstelle von ist. Polynomdivision liefert:
    Die --Formel / Mitternachtsformel angewandt auf das Ergebnis liefert folgende weitere Lösungen:
    Somit ist die Menge der Nullstellen von gegeben durch .
  2. Die Teiler des Absolutglieds von sind gegeben durch:
    Ausprobieren zeigt, dass eine Nullstelle von ist. Polynomdivision liefert:
    Die --Formel / Mitternachtsformel angewandt auf das Ergebnis liefert folgende weitere Lösungen:
    Somit ist die Menge der Nullstellen von gegeben durch .

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Nullstellen von.

Lösung zu Aufgabe 3

Die Teiler des Absolutglieds von sind gegeben durch:

Ausprobieren zeigt, dass eine Nullstelle von ist.

Polynomdivision liefert:

Die --Formel angewandt auf das Ergebnis liefert folgende weitere Lösungen:
Da unter der Wurzel ein negativer Ausdruck steht, hat diese Gleichung keine Lösung und damit gibt es keine weitere Nullstelle. Die einzige Nullstelle von ist also .

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Führe folgende Polynomdivisionen durch:

Lösung zu Aufgabe 4

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Nullstellen der Funktion .

Lösung zu Aufgabe 5

Zunächst rät man die erste Nullstelle, dafür betrachtet man die Teiler des Absolutglieds . Das sind . Wie man sieht, erhält man für eine Nullstelle, denn:

Nun kann man eine Polynomdivision mit durchführen:
Also gilt
Mit dem Satz vom Nullprodukt erhält man, dass die Nullstellen der Funktion gegeben sind durch die Lösungen der Gleichungen und . Der erste Term wurde bereits betrachtet. Daher überprüft man nun den zweiten Term mit Hilfe der --Formel / Mitternachtsformel.

Da unter der Wurzel ein negativer Ausdruck steht, gibt es keine weitere Lösung. Also ist die einzige Nullstelle von bei .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 11:23:35 Uhr