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Substitution zum Lösen von Gleichungen

Substitution zum Lösen von Gleichungen

Merksatz

Wenn in einer Gleichung lediglich gerade Potenzen von auftreten, kann eine Substitution durchgeführt werden.

Rezept

Bestimme die Lösungen der Gleichung

Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite:

Schritt 2: Substitution: Setze , dann gilt:

Schritt 3: Löse die Gleichung (zum Beispiel mit der --Formel / Mitternachtsformel).

Schritt 4: Rücksubstitution: Löse , also:

Es folgt also .

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Um die Nullstellen zu berechnen, werden die Lösungen der Gleichung bestimmt. Wie im Rezept löst man dann die Gleichung
    Alles auf eine Seite bringen.

    Substitution mit
    Anwendung der --Formel / Mitternachtsformel:
    und .
    Rücksubstitution:
    Nullstellen
    Die Nullstellen der Funktion sind gegeben durch:
  2. Lösungsweg wie in Teil (a):
  3. Lösungsweg wie in Teil (a):

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Löse für folgende Gleichung.

Lösung zu Aufgabe 2

Zunächst wird die Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultipliziert. Das verändert die Lösungsmenge nicht, weil laut Aufgabenstellung gilt. Also


Alles auf eine Seite bringen:
Substitution mit :
Anwendung der --Formel / Mitternachtsformel:
und
Rücksubstitution:
Lösungsmenge
Die Lösungsmenge der Gleichung ist damit gegeben durch:

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018