cross
Scharen

Gemeinsame Schnittpunkte

Erklärung

Einleitung

Neben der Betrachtung einer einzelnen Funktion einer bestimmten Funktionsklasse werden auch ganze Funktionenscharen in der Analysis betrachtet, d.h. dem einzelnen Funktionsterm wird ein fester, aber im allgemeinen beliebiger Parameter (reelle Zahl) hinzugefügt (Grundlagen Scharen). Neben der Kurvendiskussion dieser Funktionenschar wird auch die Frage behandelt, ob die Graphen - unabhängig vom Paramter - gemeinsame Punkte besitzen. In diesem Artikel geht es darum, wie solche gemeinsamen Punkte bestimmt werden.

  • Der Artikel Grundlagen Scharen behandelt den Begriff der Funktionenschar (Scharkurve).
  • Ein weiterer Artikel beschäftigt sich mit der Frage, auf welchem Graphen (Ortkurve) einer Funktionenschar z.B. alle Hochpunkte (Tiefpunkte, Wendepunkte) liegen (Ortskurve).

Gegeben ist die Funktionenschar
Zeige, dass alle Kurven durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen und ermittle diesen Punkt.
  • Schritt 1: Schnittstellen zweier Scharkurven Bestimme den Schnittpunkt der Graphen zweier beliebig gewählter Funktionen der Kurvenschar.
    Zum Beispiel die Schnittpunkte für die Parameter und :
  • Schritt 2: Bestimmung des Funktionswertes Setze das ermittelte in eine beliebige Funktion der Schar ein.
    Ist das Ergebnis unabhängig vom Parameter , so gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt. Es gilt:
  • Schritt 3: Gemeinsamer Schnittpunkt Die errechneten Werte ergeben die Koordinaten des gemeinsamen Schnittpunkts:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Untersuche folgende Scharen auf gemeinsame Punkte.

  1. .

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Schnittstellenbestimmung für zwei Graphen
    Bestimme die Schnittstellen der Graphen für von und . Es gilt:
    Bestimmung des Funktionswertes
    Setze den Wert in die allgemeine Funktionsgleichung ein:
    Schnittpunkt
    Somit gehen alle Funktionen der Schar durch den Punkt .
  2. Schnittstellenbestimmung für zwei Graphen
    Bestimme die Schnittstellen der Graphen für von und . Es gilt:
    Bestimmung des Funktionswertes
    Setze den Wert in die allgemeine Funktionsgleichung ein:
    Schnittpunkte
    Somit haben die Graphen der Schar die folgenden gemeinsamen Punkte:
  3. Schnittstellenbestimmung für zwei Graphen
    Bestimme die Schnittstellen der Graphen für von und . Es gilt:
    Diese Gleichung ist nicht lösbar. Damit gibt es keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist für die Schar der Funktionen durch:

Untersuche die Graphen der Schar auf gemeinsame Punkte.

Lösung zu Aufgabe 2

Schnittstellen zweier Graphen
Bestimme die Schnittstellen der Graphen von und . Es gilt:

Bestimmung des Funktionswertes Setze die berechneten Werte und in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt. Es gelten:
Somit gehen alle Graphen der Schar durch die Punkte und .
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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 15. 07. 2019