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Gemeinsame Schnittpunkte

Gemeinsame Schnittpunkte

Bestimmung gemeinsamer Schnittpunkte einer Schar

Gegeben ist die Funktionenschar

Zeige, dass alle Kurven durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen und ermittle diesen Punkt.
  • Schritt 1: Schnittstellen zweier Scharkurven Bestimme den Schnittpunkt der Graphen zweier beliebig gewählter Funktionen der Kurvenschar.
    Zum Beispiel die Schnittpunkte für die Parameter und :
  • Schritt 2: Bestimmung des Funktionswertes Setze das ermittelte in eine beliebige Funktion der Schar ein.
    Ist das Ergebnis unabhängig vom Parameter , so gibt es einen gemeinsamen Schnittpunkt. Es gilt:
  • Schritt 3: Gemeinsamer Schnittpunkt Die errechneten Werte ergeben die Koordinaten des gemeinsamen Schnittpunkts:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Untersuche folgende Scharen auf gemeinsame Punkte.

  1. .

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Schnittstellenbestimmung für zwei Graphen
    Bestimme die Schnittstellen der Graphen für von und . Es gilt:
    Bestimmung des Funktionswertes
    Setze den Wert in die allgemeine Funktionsgleichung ein:
    Schnittpunkt
    Somit gehen alle Funktionen der Schar durch den Punkt .
  2. Schnittstellenbestimmung für zwei Graphen
    Bestimme die Schnittstellen der Graphen für von und . Es gilt:
    Bestimmung des Funktionswertes
    Setze den Wert in die allgemeine Funktionsgleichung ein:
    Schnittpunkte
    Somit haben die Graphen der Schar die folgenden gemeinsamen Punkte:
  3. Schnittstellenbestimmung für zwei Graphen
    Bestimme die Schnittstellen der Graphen für von und . Es gilt:
    Diese Gleichung ist nicht lösbar. Damit gibt es keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist für die Schar der Funktionen durch:

Untersuche die Graphen der Schar auf gemeinsame Punkte.

Lösung zu Aufgabe 2

Schnittstellen zweier Graphen
Bestimme die Schnittstellen der Graphen von und . Es gilt:

Bestimmung des Funktionswertes Setze die berechneten Werte und in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt. Es gelten:
Somit gehen alle Graphen der Schar durch die Punkte und .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018