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Grundlagen Scharen

Grundlagen Scharen

Merksatz

Eine Funktionenschar ist eine Menge von Funktionen.
Für jedes , hierbei ist ein Teilintervall von , bzw. ist dabei eine Funktion gegeben.
Mit dem Parameter rechnet man dabei so, als wäre eine fixierte reelle Zahl, die für den Moment noch nicht genauer bekannt ist.

Funktionenscharen können auch von mehreren Parametern abhängen. Gegeben ist dann zum Beispiel die Schar der Funktionen für bestimmte Werte der Parameter und . Hier rechnet man mit den beiden Parametern und so, als wären die beiden jeweils fixierte reelle Zahlen, die für den Moment noch nicht genauer bekannt sind.

Beispiel

Betrachtet wird die Schar der Funktionen mit:

Das Schaubild der Funktion heißt . Da man mit dem Parameter wie mit einer normalen Zahl rechnet, folgt beispielsweise für die Ableitung :
Setzt man für einige Beispielwerte (z. B. , , ) ein, so erhält man die Funktionen:
Die zugehörigen Graphen , und sind im folgenden Schaubild dargestellt.

Aufgabe 1

Sascha und Jan werfen sich über einem Netz einen Ball zu. Da sie zunehmend erschöpfter werden, werfen sie von Mal zu Mal weniger hoch. Der Ball fliegt immer parabelförmig und Sascha und Jan bleiben an der gleichen Stelle stehen. Beim ersten Wurf erreicht der Ball eine Höhe von . Das Netz ist hoch.
Während der Rechnungen darf auf Einheiten verzichtet werden, im Antwortsatz jedoch nicht. Ergebnisse mit dem Taschenrechner sollen auf zwei Dezimalen gerundet angegeben werden.

  1. Fertige eine Skizze an. Dabei soll das Netz auf der -Achse stehen, der Hallenboden wird durch die Gerade dargestellt. Sascha und Jan stehen symmetrisch zum Netz weit auseinander und treffen den Ball mit ihrer Hand in einer Höhe von . Zeichen die erste und die letzte Flugbahn des Balles ein, bei der er am Netz abprallt. Der Durchmesser des Balls darf vernachlässig werden. Der Ball stellt einen Punkt dar, der zu Boden fällt, sobald er das Netz berührt.
  2. Bestimme die Parabeln und , wobei der Graph von der letzten Flugbahn entspricht, in welcher der Ball am Netz abprallt.
  3. Bei jedem Wurf sinkt die maximale Höhe des Balls um . Wie oft wird der Ball hin- und hergeworfen?
  4. Gesucht ist nun eine Funktionenschar , deren Graphen die Flugbahnen des Balls modellieren, wobei der Anzahl der Würfe entspricht mit . Lisa schlägt folgendes Modell vor:
    Sie begründet ihre Wahl wie folgt: Die erste Funktion ist . Die Funktionen haben alle denselben Hochpunkt und liegen übereinander, sind also nach oben oder unten verschoben. Daher verschiebt sie den -Achsen-Abschnitt jedes Mal um nach unten. Kommentiere ihre Idee.
  5. Entwirf selbst eine Modellierung mittels einer Funktionenschar, wobei der Parameter dem jeweilige Wurf entspricht und .

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Skizze:
  2. Eine Parabel hat die allgemeine Form
    Der Scheitel und damit der Extrempunkt von liegt bei . Da es sich um einen Extrempunkt handelt, muss die erste Ableitung an dieser Stelle sein.
    Also bleibt nur noch
    Den -Achsenabschnitt kann man direkt an der Skizze ablesen oder alternativ den Punkt in einsetzen und nach auflösen. So erhält man .
    Nun braucht man noch einen weiteren Punkt, den man einsetzen kann, zum Beispiel die Nullstelle , wo der Ball bei einem der Spieler landet. Setzt man diesen Punkt in ein, so erhält man
    Damit hat man die folgende Funktion für den ersten Wurf gefunden:
    Dasselbe macht man nun mit der letzten Flugbahn, um zu erhalten.
    Auch hier liegt der Hochpunkt bei . Wenn man also in einsetzt, erhält man als Ergebnis .
    Das führt zur Funktion:
    Den -Achsenabschnitt kann man wieder ablesen.
    Damit hat die Funktion die Form
    Außerdem hat auch diese Parabel die Nullstelle , also
    Damit hat man nun auch die Funktion gefunden, bei der der Ball am Netz abprallt, nämlich
  3. Beim ersten Wurf erreicht der Ball eine Höhe von , das entspricht im Koordinatensystem . Beim letzten Wurf sind es , das entspricht im Koordinatensystem. Bei diesem Wurf prallt er am Netz ab. Die Distanz dazwischen beträgt also , da:
    Außerdem weiß man, dass bei jedem Wurf ein Höhenverlust von stattfindet.
    Der Ball wird also 20 Mal hin und hergeworfen, das heißt .
  4. Lisa hat zwar Recht damit, dass sich der -Achsenabschnitt immer um verringert. Mit einem reinen Verschieben der Funktion ist es allerdings nicht getan, wie man an der Skizze erkennen kann.
    Verschiebt man die Parabel nach oben oder unten, so verschiebt man alle Punkte, und damit auch die Stellen, an denen die beiden Jungen den Ball werfen. Sprich, sie werfen jedes Mal von weiter unten, bis sie ganz zum Schluss vom Fußboden aus werfen. Mit einem reinen Verschieben nach oben oder unten ist es also nicht getan, die Funktion muss auch entsprechend gestaucht/gestreckt werden, was man erreichen kann, indem man verändert.
  5. Der Ansatz aus der vorherigen Teilaufgabe war durchaus richtig, der -Achsenabschnitt muss jeweils um sinken, also ergibt sich für
    Dass hier 3,6 und nicht 3,5 steht, liegt daran, dass man bereits beim ersten Wurf für einsetzt und daher bereits rechnet. Außerdem liegt der Hochpunkt bei allen Parabeln dieser Schar auf der -Achse. Es gilt also .
    Damit ergibt sich für :
    Als Letztes muss man nun bestimmen. Die Nullstellen aller Parabeln sind identisch, da der Ball jedes Mal in der Hand des Gegenübers landet. Der Punkt liegt also auf allen Graphen . Mit obigen Bezeichnungen gilt dann:
    Die Funktionenschar, deren Graphen die Flugbahnen des Balles modellieren, wobei den -ten Wurf darstellt, ist also für gegeben durch:

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Gegeben ist für die Funktionenschar mit

Der Graph der Funktion wird mit bezeichnet.
  1. Bestimme alle Extrempunkte von .
  2. Bestimme alle Wendepunkte von .
  3. Bestimme die Gleichung der Tangente im Wendepunkt von .
  4. Bestimme den Flächeninhalt, welchen mit der -Achse einschließt.

Lösung zu Aufgabe 2

Für die Bestimmung der Extrem- und Wendestellen leitet man die Funktion zunächst drei mal ab.

Es gilt:

  1. Für die Berechnung der Extremstellen bestimmt man die Nullstellen der ersten Ableitung
    Um zu entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, setzt man die soeben berechneten Werte in die Funktion ein. Es gelten:
    Laut Aufgabenstellung gilt und somit besitzt an der Stelle einen Tiefpunkt und an der Stelle einen Hochpunkt.
    Man erhält:
  2. Für die Berechnung Wendestellen bestimmt man die Nullstellen der zweiten Ableitung :
    Es gilt:
    Damit hat an der Stelle einen Wendepunkt. Es gilt:
  3. Die Tangente im Wendepunkt von hat die Steigung , also
    Ein Ansatz für die Gleichung der Wendetangente ist damit gegeben durch:
    Der -Achsenabschnitt wird durch Punktprobe mit bestimmt:
    Die Gleichung der Wendetangente ist also gegeben durch:
  4. Um den Flächeninhalt zu berechnen, der vom Graphen von und der -Achse eingeschlossen wird, werden zunächst die Schnittpunkte von und der -Achse bestimmt und dann das Integral berechnet:
    also
    Wegen ist der Flächeninhalt daher gegeben durch

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: ***

In einer Bäckerei wird ein Versuch durchgeführt. Hierzu werden morgens um 10:00 Uhr () unterschiedliche Mengen einer Hefekultur in verschiedenen Petrischalen vermehrt.
Der Azubi Jürgen hat gerade wenig zu tun und schaut daher regelmäßig bei den Petrischalen vorbei. Um 14:00 Uhr darf Jürgen in seinen wohlverdienten Feierabend gehen und wirft direkt bevor er geht noch einmal einen Blick in die Petrischalen. Die Hefe hat sich schon vermehrt. Voller Vorfreude geht er am nächsten Arbeitstag um 4:00 Uhr morgens wieder in die Bäckerei und stellt fest, dass sich die Hefekultur in den letzten Stunden weiter vermehrt hat.

Anhand seiner Daten stellt er fest, dass sich die Hefe in den unterschiedlichen Schalen gemäß der Funktionschar mit

vermehrt ( in Stunden seit Beobachtungsbeginn, in ).
  1. Beschreibe die Bedeutung des Parameters im Sachzusammenhang.
  2. Jürgen hatte als letzten Messwert um 14:00 Uhr des ersten Tages in Schale Nummer eins aufgezeichnet. Berechne den zugehörigen Wert des Parameters . Runde diesen auf eine Nachkommastelle für die kommenden Aufgabenteile.
  3. Welche Hefemenge findet Jürgen bei Arbeitsbeginn des zweiten Tages in Schale eins vor?
  4. Zeige, dass sich die Hefemenge in allen Schalen stets vermehrt.
  5. Jürgen stellt fest, dass sich die Hefe am zweiten Tag quasi nicht mehr vermehrt. Welche Hefemenge wird sich langfristig in allen Schalen einstellen?
  6. Zu welchem Zeitpunkt wird die Hefe in Schale eins ihrer maximalen Menge erreicht haben? Kann Jürgen dabei gewesen sein? Für welchen Wert von hätte Jürgen bei Feierabend des ersten Tages den Wert von der Maximalmenge notieren können?

Betrachte für Aufgabenteil (a) die Grenzwerte ,

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Es gilt:
    Somit entspricht der Parameter dem Anfangsbestand, also der Menge an Hefe, die zu Versuchsbeginn in der Petrischale war.
  2. Um 14:00 Uhr gilt , also
    Die Startmenge in Schale eins lag damit bei Hefe.
  3. Zu Beginn des zweiten Arbeitstages gilt und somit
    Also sind zu Beginn des zweiten Arbeitstages in Schale eins der Hefekultur vorhanden.
  4. Zu zeigen ist, dass die Funktion für alle monoton steigend ist. Wegen und
    gilt, dass immer positiv ist und somit die Funktion für alle erlaubten Werte von monoton wachsend ist.
  5. Es gilt:
    Somit ist die zu erwartende Hefemenge in allen Schalen .
  6. Zeitpunkt, an dem in Schale eins der Maximalmenge erreicht werden
    Weiter oben wurde gezeigt, dass die Menge der Hefekultur stets zunimmt und langfristig in der Schale sein werden. Damit ist der Zeitpunkt gesucht, zu dem Hefe in der Schale sind. Es muss also gelten:
    Nach etwas mehr als Stunden und somit kurz nach 19 Uhr hat die Hefe in Schale eins der Maximalmenge erreicht. Da Jürgen bereits 14:00 Uhr Feierabend gemacht hat, kann er nicht dabei gewesen sein.
    Nötige Start-Hefemenge, damit Jürgen am Feierabend des ersten Tages der Maximalmenge notieren kann
    Jürgen macht Stunden nach Beobachtungsbeginn Feierabend. Es soll also gelten:
    Falls die Startmenge in einer der Petrischalen bei liegt, kann Jürgen dort am Ende seines ersten Arbeitstages des Maximalwertes notieren.

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: ***

Betrachtet wird für die Schar der Funktionen mit

Der Graph der Funktion heißt dabei .

Bestimme in Abhängigkeit von und die Extrempunkte von . Beschreibe den Einfluss der Parameter und auf den Graphen von .

Lösung zu Aufgabe 4

Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen von bestimmt. Es gelten:

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind wegen gegeben durch:
Somit hat an der Stelle ein Maximum, falls gilt und ein Minimum, falls gilt. Für den Funktionswert an dieser Stelle gilt:
Die Parameter bzw beeinflussen also den Verlauf von insofern, dass an der Stelle ein Extrempunkt liegt, welcher in Abhängigkeit von ein Hoch- oder Tiefpunkt ist und folgende Koordinaten hat:

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: **

Für ist die folgende Funktionenschar gegeben durch:

Der Graph von heißt dabei
  1. Bestimme alle Extrempunkte von
  2. Zeige, dass für nur oberhalb der -Achse verläuft.

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen und der Funktion bestimmt:
    Die Nullstellen der ersten Ableitung sind gegeben durch:
    Wegen
    hat der Graph an der Stelle einen Extrempunkt. Es gilt ausserdem:
    Für hat der Extrempunkt also die Koordinaten
    Hierbei handelt es sich um einen Tiefpunkt. Für hat die Funktion keinen Extrempunkt, da nur für positive -Werte definiert ist.
  2. Es gelten für folgende Eigenschaften:
    Somit liegt das einzige Minimum , das damit auch ein globales Minimum ist, oberhalb der -Achse. Insgesamt verläuft also der ganze Graph von oberhalb der -Achse.

Aufgabe 6 – Schwierigkeitsgrad: **

Betrachte für die Funktionenschar mit

  1. Bestimme in Abhängigkeit des Parameters die maximale Definitionsmenge .
  2. In den nachfolgenden Schaubildern sind Funktionsgraphen der Schar dargestellt.
    Ordne diese Graphen den Parameterwerten , und zu. Begründe deine Wahl durch eine charakteristische Eigenschaft der Funktion bei gewähltem Parameter.

Lösung zu Aufgabe 6

  1. Die Logarithmusfunktion ist nur für positive Argumente definiert. Also muss gelten:
    Für den Nenner gilt dann auch und damit ist die maximale Definitionsmenge gegeben durch
  2. In Aufgabenteil (a) wurde bereits die maximale Definitionsmenge in Abhängigkeit des Parameters bestimmt. Eine genauere Betrachtung zeigt, dass der Graph von am Rand der Definitionsmenge, also an der Stelle eine senkrechte Asymptote besitzt. Eine charakteristische Eigenschaft des Graphen bei gewähltem Parameter ist also die Stelle, an welcher die senkrechte Asymptote liegt. Somit können die Graphen folgendermaßen zugeordnet werden:

    • Der Graph kann also nur zum Wert gehören.
    • Der Graph gehört zum Wert .
    • Der Graph ist der Graph zum Wert .

    Alternativer Weg:
    Die Nullstelle des Graphen von hängt vom Parameter ab, denn es gilt:

    • Die Nullstelle von Graph liegt bei x=-1, der Graph kann also nur zum Wert gehören.
    • Die Nullstelle von Graph ist , also gehört der Graph zum Wert .
    • Die Nullstelle von Graph ist , also ist dies der Graph zum Wert .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018