cross
Scharen

Ortskurve

Erklärung

Einleitung

Neben der Betrachtung einer einzelnen Funktion einer bestimmten Funktionsklasse werden auch ganze Funktionenscharen in der Analysis betrachtet, d.h. dem einzelnen Funktionsterm wird ein fester, aber im allgemeinen beliebiger Parameter (reelle Zahl) hinzugefügt. In diesem Artikel geht es um grundlegende Fragestellungen, wie sie auch bei der Kurvendiskussion einer einzelnen Funktion behandelt werden. Der Schwerpunkt beschäftigt sich mit der Frage, auf welchem Graphen (Ortkurve) einer Funktionenschar z.B. alle Hochpunkte (Tiefpunkte, Wendepunkte) liegen.

  • Der Artikel Grundlagen Scharen erläutert den Begriff Funktionenschar (Scharkurve).
  • Ein anderer Artikel beschäftigt sich mit der Frage, ob die Graphen einer Funktionenschar - unabhängig vom Parameter - gemeinsame Punkte besitzen (Gemeinsame Schnittpunkte).

Gegeben ist die Funktionenschar mit
Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte.
  • Schritt 1: Bestimmung der Minimumstelle
    Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen der Funktion bestimmt:
    Nun werden Nullstellen der ersten Ableitung berechnet:
    Wegen hat der Graph der Funktion an der Stelle ein Minimum.
  • Schritt 2: Bestimmung der Koordinaten des Tiefpunktes
    Bestimme den Funktionswert von . Dies liefert den -Wert des Tiefpunkts:
    Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten
  • Schritt 3: Bestimmung der Gleichung der Ortskurve
    Schreibe Gleichungen für und hin und löse die -Gleichung nach auf:
    Die Gleichung des Parameters in Abhängigkeit der Variable wird in die Gleichung für die Variable eingesetzt:
  • Schritt 4: Bestimmung des Definitionsbereichs
    Bestimme gegebenenfalls den Definitionsbereich der Ortskurve mithilfe des Definitionsbereichs von und der -Gleichung. Es gelten:
    Die Ortskurve der Tiefpunkte lautet also:
    Dieses Rezept lässt sich mit der entsprechenden Modifikation auch für die Ortskurve der Hochpunkte und Wendepunkte anwenden.

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Ermittle für folgende Scharen die Ortskurve aller Extrempunkte.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Teilschritte:

    Bestimmung der Extrempunkte
    Es gelten:

    Der Graph von hat an der Stelle einen Tiefpunkt . Es gilt:
    Bestimmung der Ortskurve
    Schreibe die Gleichungen für und in Abhängigkeit von auf und löse die -Gleichung nach auf:
    Es gilt also .
    Definitionsbereich
    Da ist, gilt auch und die Gleichung der Ortskurve lautet:
  2. Teilschritte:

    Bestimmung der Extrempunkte
    Es gelten:

    Der Graph von hat an der Stelle einen Tiefpunkt. Es gilt:
    Bestimmung der Ortskurve
    Schreibe die Gleichungen für und in Abhängigkeit von auf und löse die -Gleichung nach auf:
    Es gilt also .
    Definitionsbereich
    Da ist, gilt und die Gleichung der Ortskurve lautet:
  3. Teilschritte:

    Bestimmung der Extrempunkte
    Es gelten:

    Der Graph von hat an der Stelle einen Hochpunkt. Es gilt:
    Bestimmung der Ortskurve
    Schreibe die Gleichungen für und in Abhängigkeit von auf und löse die -Gleichung nach auf:
    Es gilt also .
    Definitionsbereich
    Da ist, gilt und die Gleichung der Ortskurve lautet:

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Für alle ist die Schar der Funktionen gegeben durch:

Ermittle die Ortskurve aller Wendepunkte der Scharkurven.

Lösung zu Aufgabe 2

Zunächst bestimmt man die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von . Die ersten drei Ableitungen von sind gegeben durch:

Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind gegeben durch:
Wegen besitzt der Graph von an der Stelle einen Wendepunkt. Es gilt:
Der Wendepunkt hat also die Koordinaten . Also:
Damit kann die Gleichung der Ortskurve ermittelt werden:
Wegen ist die Ortskurve der Wendepunkte für alle definiert.
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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 30. 07. 2019