cross

Ortskurve

Ortskurve

Bestimmung der Ortskurve

Gegeben ist die Funktionenschar mit

Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte.
  • Schritt 1: Bestimmung der Minimumstelle
    Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen der Funktion bestimmt:
    Nun werden Nullstellen der ersten Ableitung berechnet:
    Wegen hat der Graph der Funktion an der Stelle ein Minimum.
  • Schritt 2: Bestimmung der Koordinaten des Tiefpunktes
    Bestimme den Funktionswert von . Dies liefert den -Wert des Tiefpunkts:
    Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten
  • Schritt 3: Bestimmung der Gleichung der Ortskurve
    Schreibe Gleichungen für und hin und löse die -Gleichung nach auf:
    Die Gleichung des Parameters in Abhängigkeit der Variable wird in die Gleichung für die Variable eingesetzt:
  • Schritt 4: Bestimmung des Definitionsbereichs
    Bestimme gegebenenfalls den Definitionsbereich der Ortskurve mithilfe des Definitionsbereichs von und der -Gleichung. Es gelten:
    Die Ortskurve der Tiefpunkte lautet also:
    Dieses Rezept lässt sich mit der entsprechenden Modifikation auch für die Ortskurve der Hochpunkte und Wendepunkte anwenden.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Ermittle für folgende Scharen die Ortskurve aller Extrempunkte.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Bestimmung der Extrempunkte
    Es gelten:
    Der Graph von hat an der Stelle einen Tiefpunkt . Es gilt:
    Bestimmung der Ortskurve
    Schreibe die Gleichungen für und in Abhängigkeit von auf und löse die -Gleichung nach auf:
    Es gilt also .
    Definitionsbereich
    Da ist, gilt auch und die Gleichung der Ortskurve lautet:
  2. Bestimmung der Extrempunkte
    Es gelten:
    Der Graph von hat an der Stelle einen Tiefpunkt. Es gilt:
    Bestimmung der Ortskurve
    Schreibe die Gleichungen für und in Abhängigkeit von auf und löse die -Gleichung nach auf:
    Es gilt also .
    Definitionsbereich
    Da ist, gilt und die Gleichung der Ortskurve lautet:
  3. Bestimmung der Extrempunkte
    Es gelten:
    Der Graph von hat an der Stelle einen Hochpunkt. Es gilt:
    Bestimmung der Ortskurve
    Schreibe die Gleichungen für und in Abhängigkeit von auf und löse die -Gleichung nach auf:
    Es gilt also .
    Definitionsbereich
    Da ist, gilt und die Gleichung der Ortskurve lautet:

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Für alle ist die Schar der Funktionen gegeben durch:

Ermittle die Ortskurve aller Wendepunkte der Scharkurven.

Lösung zu Aufgabe 2

Zunächst bestimmt man die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von . Die ersten drei Ableitungen von sind gegeben durch:

Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind gegeben durch:
Wegen besitzt der Graph von an der Stelle einen Wendepunkt. Es gilt:
Der Wendepunkt hat also die Koordinaten . Also:
Damit kann die Gleichung der Ortskurve ermittelt werden:
Wegen ist die Ortskurve der Wendepunkte für alle definiert.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018