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Wachstum

Wachstum

Merksatz

  • Nimmt eine Größe in gleichen Zeitabschnitten um stets den gleichen Faktor zu oder ab, so liegt exponentielles Wachstum vor. Für die Bestandsfunktion gilt dann:
    Dabei ist der Anfangsbestand und die Wachstumskonstante.
    Exponentielles Wachstum erfüllt die Differentialgleichung
  • Liegt beschränktes Wachstum vor, so ist der Bestand durch eine Sättigungsgrenze nach oben beschränkt. Für die Bestandsfunktion gilt:
    Dabei ist die Sättigungsgrenze, der Anfangsbestand und die Wachstumskonstante.
    Beschränktes Wachstum erfüllt die Differentialgleichung
  • Liegt logistisches Wachstum vor, so ist der Bestand durch eine Sättigungsgrenze nach oben beschränkt. Für die Bestandsfunktion gilt:
    Dabei ist die Sättigungsgrenze, der Anfangsbestand und die Wachstumskonstante.
    Logistisches Wachstum erfüllt die Differentialgleichung

Beispiel

Ein Patient hängt am Tropf. Die Wirkstoffmenge im Blut des Patienten wird dabei beschrieben durch die Funktion mit

wobei in Minuten nach Behandlungsbeginn und in Milligramm. Bestimme die Sättigungsgrenze und die Wachstumkonstante . Zeige außerdem, dass die Funktion die Differentialgleichung für beschränktes Wachstum erfüllt.

Die Wachstumskonstante lässt sich direkt ablesen als . Für die Berechnung der Sättigungsgrenze bestimmt man den Grenzwert für .

Alternativ kann man auch die Gleichung solange umformen, bis sie die Form der allgemeinen Formel hat:
Ein Vergleich mit der Formel liefert: und . Nun kann gezeigt werden, dass die Funktion die Differentialgleichung erfüllt, indem man die Funktion in obige Differentialgleichung einsetzt.
Hierzu berechnet man zunächst die Ableitung der Funktion :
Eingesetzt in obige Gleichung folgt:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *-**

In einem Laborschrank wurde im Jahr 1960 eine Menge von Gramm des Kohlenstoffisotops eingeschlossen. Dieses hat eine Halbwertszeit von Jahren.

  1. Stelle die Bestandsfunktion auf.
  2. Wieviel befindet sich im Jahr 2015 im Schrank?
  3. Kurz nach der Auslöschung der Menschheit finden Außerirdische den Laborschrank. Dort befinden sich noch Gramm . Wie viele Jahre bleiben uns noch?

Lösung zu Aufgabe 1

Bei diesem Vorgang handelt es sich um exponentielles Wachstum. Der korrekte Ansatz lautet also:

  1. Eine Halbwertszeit von Jahren bedeutet, dass nach Jahren genau die Hälfte des anfänglichen Bestandes übrig ist. Es gilt also:
    Nach Division durch folgt:
    Eine Gleichung der Bestandsfunktion lautet also
  2. Zwischen 1960 und 2015 liegen 55 Jahre. Der ursprüngliche Bestand aus dem Jahr 1960 war Gramm. Nach 55 Jahren gilt:
    Es sind also noch etwa Gramm vorhanden.
  3. Gegeben sind der Anfangsbestand und der aktuelle Bestand . Gesucht ist . Es gilt:
    Gerechnet vom Jahr 1960 verbleiben uns also noch gut 2972 Jahre. Somit steht uns die Auslöschung erst im April 4932 bevor.

Aufgabe 2

Auf einer einsamen Insel, bislang unentdeckt, und so wunderschön, dass sie noch niemals von einem Bewohner verlassen wurde, breitet sich eine Seuche aus. Insgesamt leben Einwohner auf der Insel. Zunächst hatte sich nur ein Fischer infiziert, welcher einen bis dahin unbekannten Fisch erbeutet hatte. Nach Tagen waren jedoch schon Einwohner erkrankt. Insgesamt lässt sich die Zahl der Erkrankten durch logistisches Wachstum beschreiben.

  1. Stelle die Funktionsgleichung für die Anzahl der erkrankten Einwohner auf.
  2. Wann sind Menschen erkrankt?
  3. Wann ist nur noch ein einziger Mensch gesund?
  4. Wie viele Kranke gibt es nach Tagen?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Der Anfangsbestand ist , denn zunächst ist nur ein Mann erkrankt. Die Sättigungsgrenze ist , denn mehr als Menschen können nicht erkranken. Somit gilt für die Anzahl der kranken Einwohner:
    Um die Konstante zu ermitteln, setzt man nun noch die verbleibende Information ein:
    Also:
  2. Gesucht ist diejenige Zeit , für die gilt: . Also:
    Nach ca. Tagen sind Inselbewohner erkrankt.
  3. Genau wie im vorangegangenen Teil erhält man:
    Nach ca. Tagen sind alle bis auf einen Inselbewohner infiziert.
  4. Es gilt:
    Nach Tagen sind bereits Einwohner krank.

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

Zum Neujahr 2015 betritt ein neuer Mobilfunkanbieter den Markt. Durch radikales Marketing gewinnt er monatlich Neukunden. Aufgrund des schlechten Kundenservices verliert der Anbieter jedoch jeden Monat ein Prozent seiner Kunden. Die Anzahl der Kunden wird durch die Funktion beschrieben, wobei die Anzahl der Kunden Monate nach Markteinführung beschreibt.

  1. Stelle eine Formel für die Änderungsrate der Kundenzahl auf.
  2. Bestimme eine Gleichung für die Funktion .
  3. Wie viele Kunden hat der Anbieter nach Jahren?
  4. Wie viele Kunden hat der Anbieter langfristig?

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Der Anbieter gewinnt monatlich Kunden und verliert seines Kundenbestands. Jeden Monat gilt daher:
    Somit ist die Änderungsrate gegeben durch:
  2. Man vergleicht die soeben berechnete Änderungsrate mit der Formel für beschränktes Wachstum. Diese lautet:
    Klammert man in obigem Ausdruck die den Faktor aus, so erhält man
    Somit liegt beschränktes Wachstum vor mit und . Wegen lautet die Bestandsgleichung:
  3. Nach zehn Jahren sind Monate vergangen. Somit ist der Bestand nach 10 Jahren gegeben durch:
    Nach 10 Jahren hat der Anbieter knapp Kunden.
  4. Um den langfristigen Bestand zu bestimmen, berechnet man den Grenzwert des Funktionswertes für . Es gilt:
    Auf lange Sicht kann der Anbieter also Kunden binden.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018