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Parameterform einer Ebene

Parameterform einer Ebene

Merksatz

Die Parameterform einer Ebene wird beschrieben durch

Der Vektor ist der Stützvektor und die Vektoren und sind die Spannvektoren der Ebene . Die Spannvektoren und dürfen dabei keine Vielfachen voneinander sein.

Häufig wird zur besseren Übersicht keine nähere Angabe zu dem Skalaren vor dem Spannvektoren gemacht. Dann gilt mit obigen Bezeichnungen: .
Die Parameterform einer Ebene ist nicht eindeutig. Die beiden folgenden Parametergleichungen beschreiben dieselbe Ebene:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist die Ebene

Entscheide, ob folgende Punkte in der Ebene liegen:

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Um zu bestimmen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, wird dieser für eingesetzt.
    Dabei entsteht ein LGS:
    Das LGS lösen:
    Einsetzen in :
    Probe mit
    Folglich liegt in der Ebene. Ein Probe kann gemacht werden, indem man und in die Ebenengleichung einsetzt und dann erhält.
  2. Der Punkt liegt nicht auf der Ebene.
  3. Der Punkt liegt in der Ebene (, ).

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme jeweils eine Parameterform der Ebene, in der die entsprechenden drei Punkte liegen:

  1. , ,
  2. , , .

Lösung zu Aufgabe 2

Es wird einer der drei Punkte als Stützvektor verwendet und jeweils der Verbindungsvektor zu den beiden anderen Punkten berechnet.

  1. Berechnung der beiden Spannvektoren:
    Man kann erkennen, dass und keine Vielfachen voneinander sind und somit eine Ebene aufspannen. Die Ebenengleichung lautet:
  2. Die Ebenengleichung lautet:

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

Die -Ebene beschreibt die Oberfläche eines Grundstücks auf der eine rechteckige Pferdekoppel steht. Diese wird durch die Ecken , , und begrenzt. Bestimme in einer mathematischen Formel diejenigen Punkte, die innerhalb der Pferdekoppel liegen.

Lösung zu Aufgabe 3

Zunächst wird die Ebenengleichung aufgestellt. Um nur die Pferdekoppel zu beschreiben, werden dann die Parameter und begrenzt. Die Ebenengleichung lautet:

Normalerweise gilt . Da die Pferdekoppel allerdings genau Einheiten lang ist, gilt:

Alternativer Weg: Dieselbe Ebene wird auch beschrieben durch die Parametergleichung

In diesem Fall gilt dann:

Aufgabe 4

Gegeben ist die Parameterform

Finde eine weitere Darstellung von mit anderen Stütz- und Spannvektoren.

Lösung zu Aufgabe 4

Für und werden beliebige Zahlen eingesetzt (z.B. ), um einen weiteren Punkt auf der Ebene zu finden. Dieser Punkt wird als Stützvektor benutzt und zusammen mit Vielfachen der Spannvektoren erhält man eine weitere mögliche Darstellung der Ebene:

Beachte: Die Parameterform ist nicht eindeutig.

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: *

Ein Hausdach hat die Eckpunkte , , und .

  1. Stelle eine Gleichung der Ebene auf, in der das Hausdach liegt.
  2. Da das Haus in einer sonnigen Gegend liegt, soll eine Solarzelle montiert werden. Diese wird parallel zum Hausdach angebracht und verläuft durch den Punkt . Stelle eine Gleichung der Ebene auf, in der die Solarzelle liegen wird.

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Wähle beliebig drei der vier Punkte aus und stelle die Ebenengleichung auf:
  2. Der Punkt wird zum Aufpunkt der Ebene. Da die Spannvektoren parallel verlaufen, kann man die Spannvektoren der Ebene verwenden:

Aufgabe 6 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben sind die parallelen und nicht identischen Geraden

Bestimme eine Parametergleichung der Ebene , in der beide Geraden liegen.

Lösung zu Aufgabe 6

Eine Ebenengleichung wird bestimmt durch drei Punkte beziehungsweise eine Gerade und einen Punkt. Die Ebene wird somit definiert über die Gerade und einem Punkt auf . Stelle den Verbindungsvektor zwischen dem Aufpunkt von und einem beliebigen Punkt auf auf.

Eine Ebenengleichung lautet dann:

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018