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Schnitt Gerade-Ebene

Schnitt Gerade-Ebene

Schnitt Gerade-Ebene

Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene , die sich in einem Punkt schneiden:

Gesucht ist der Schnittpunkt von und .
Schritte
  • Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und bestimme den Parameter :
  • Setze den berechneten Parameter in die Geradengleichung ein und lies den Schnittpunkt ab:
    Der Schnittpunkt von und ist also .

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben sind eine Ebene

und eine Gerade
Zeige, dass die Gerade senkrecht auf der Ebene steht.

Lösung zu Aufgabe 1

Damit die Gerade senkrecht auf der Ebene steht, muss sie senkrecht zu beiden Spannvektoren stehen. Daher berechnet man jeweils das Skalarprodukt des Richtungsvektors mit einem Spannvektor. Man erhält:

Da beide Skalarprodukte ergeben, steht in der Tat senkrecht auf .

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Untersuche die Lagebeziehung der Geraden zur Ebene und ermittle gegebenenfalls den Schnittpunkt.


  1. Tipp: Wandle die Ebenengleichungen immer zunächst in Koordinatenform um.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Das Skalarprodukt aus Normalen- und Richtungsvektor ist
    Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung ergibt:
    Einsetzen von in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt .
  2. Zunächst wird die Ebene in Koordinatenform umgeschrieben. Hierfür wird der Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnet:
    Das Einsetzen des Stützpunktes der Ebene in den Ansatz der Ebenengleichung () ergibt
    Das Skalarprodukt aus Normalenvektor von und Richtungsvektor von ist
    Wird der Aufpunkt von in die Koordinatengleichung von eingesetzt, ergibt sich ein Widerspruch. Damit sind und echt parallel.
  3. Das Skalarprodukt aus Normalen- und Richtungsvektor ist . Das Einsetzen des Aufpunkts von in ergibt keinen Widerspruch. Damit liegt in .

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben sind die Gerade und die Geradenschar :

  1. Bestimme den Parameter so, dass sich die Geraden und senkrecht schneiden.
  2. Gib eine Gleichung einer Ebene an, die von der Geraden im Punkt senkrecht geschnitten wird.
  3. Überprüfe, ob die Gerade vollständig in der Ebene verläuft mit:
    Wenn nein, bestimme die Lagebeziehung der Ebene und der Geraden .

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Die Geraden schneiden sich in ihrem gemeinsamen Aufpunkt . Sie schneiden sich senkrecht, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander sind. Dies ist der Fall, wenn gilt
    Diese Gleichung ist für erfüllt.
  2. Die gesuchte Ebene enthält den Aufpunkt von als Stützvektor und den Richtungsvektor von als Normalenvektor. Einsetzen des Normalenvektors und anschließende Punktprobe mit liefert die Ebenengleichung
  3. Die Geradengleichung von in eingesetzt führt zu einem Widerspruch:
    Damit haben und keine gemeinsamen Punkte, das heißt muss echt parallel zu sein.

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: *

Gegeben ist eine Ebene

und eine Gerade
Zeige, dass die Gerade senkrecht auf der Ebene steht.

Lösung zu Aufgabe 4

Damit die Gerade senkrecht auf der Ebene steht, muss sie senkrecht zu beiden Spannvektoren stehen. Daher berechnet man jeweils das Skalarprodukt des Richtungsvektors mit einem Spannvektor. Man erhält:

Da beide Skalarprodukte ergeben, steht in der Tat senkrecht auf .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018