cross
Lagebeziehungen und Schnitt

Schnittwinkel zwischen Geraden und/oder Ebenen

Erklärung

Einleitung

Schnittwinkel zwischen geometrischen Objekten im Raum betreffen

  • Gerade und Gerade
  • Gerade und Ebene
  • Ebene und Ebene.
In diesem Artikel lernst du, wie in diesen drei Fällen die Schnittwinkel berechnet werden.

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden und ist der spitze Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und . Es gilt:

Hinweis: Mit dem Schnittwinkel ist immer der spitze Winkel zwischen zwei Objekten und nie der stumpfe Winkel gemeint. Also: . Aus diesem Grund wird im Zähler der Winkelformel auch der Betrag verwendet.

Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Der Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Komplementärwinkel des spitzen Winkels zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden. Es gilt

Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen

Der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen und ist der spitze Winkel zwischen ihren Normalenvektoren und . Es gilt:

Gegeben sind die Ebene und die Gerade durch
Für den Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Geraden gilt:
Es gilt:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Barsch und ein Zander schwimmen über den Meeresgrund. Sie schwimmen beide durch den Punkt . Als der Barsch den Punkt passiert, bemerkt er einen schlafenden Kleinkrebs auf dem Meeresgrund (-Ebene) und schwimmt sofort in Richtung

geradlinig auf den Kleinkrebs zu.
  1. Bestimme die Gleichung der Bahn, in die der Barsch schwimmt, sowie die Koordinaten des Punktes, an dem sich der Kleinkrebs befindet. Unter welchem Winkel wird der Barsch auf den Meeresgrund treffen?
  2. Gleichzeitig schwimmt ein Schwarm Karpfen unter dem Barsch. Alle Karpfen schwimmen in der Ebene
    Berechne, in welchem Punkt und unter welchem Winkel der Barsch den Karpfenschwarm, das heißt die Ebene , durchschwimmt.
  3. Der Zander hat kein Interesse an dem Kleinkrebs und schwimmt weiter auf der Geraden
    Zeige, dass der Zander nicht auf den Schwarm der Karpfen treffen wird. Berechne zudem den Winkel zwischen der Bahn des Barsches und der Bahn des Zanders.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Bahn des Barsches wird durch die Gerade beschrieben:
    Der Kleinkrebs befindet sich im Schnittpunkt der Bahn des Barsches mit dem Boden. Durch Einsetzen von in die Ebenengleichung des Meeresbodens
    ergibt sich der Schnittpunkt mit zu . Für den Winkel zwischen dem Boden und der Bahn des Barsches gilt:
  2. Durch Einsetzen von in die Ebenengleichung von ergibt sich mit der Schnittpunkt von und zu . Der Schnittwinkel beträgt .
  3. Durch Einsetzen von in die Ebenengleichung von ergibt sich ein negativer Wert für , d.h. die Bahn des Zanders schneidet nie die Ebene der Karpfen. Der Schnittwinkel der Bahnen des Zanders und des Barsches beträgt etwa .

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme den Schnittwinkel folgender beider Geraden und .

Lösung zu Aufgabe 2

Für den Schnittwinkel zwischen den Geraden und gilt:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Berechne jeweils den Schnittwinkel zwischen den folgenden Objekten:

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Für den Schnittwinkel zwischen den Geraden und gilt:
  2. Für den Schnittwinkel zwischen den Ebenen und gilt:
  3. Für den Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Geraden gilt:
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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 01. 08. 2019