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Matrizenrechnung

Abbildungsmatrix

Wie du aus einer linearen Abbildung eine Abbildungsmatrix erstellst

Was ist eine lineare Abbildung?

Eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen und (meist ) heißt lineare Abbildung, falls gilt:
  • , für alle .
Hinweis: Statt linearer Abbildung benutzt man auch oft den synonymen Begriff Homomorphismus.

Wie stellt man eine Abbildungsmatrix auf?

Gegeben ist eine lineare Abbildung mit
Gesucht ist die Abbildungsmatrix von .
Schritte
  • Schritt 1: Ermittle die Bilder von den Einheitsvektoren. Nutze dazu die Linearität von :
  • Schritt 2: Schreibe die Bilder als Spalten in eine Matrix. Fange dabei beim ersten Einheitsvektor an:
    Für alle Vektoren gilt dann .
Hinweis: Oft sind die Bilder der Einheitsvektoren schon in der Aufgabenstellung gegeben.

Eigenschaften von Abbildungsmatrizen

Untersuchung des Bildes

Eine lineare Abbildung bildet ein geometrisches Objekt (Vektor, Gerade, Ebene, ...) unter einer gewissen Abbildungsvorschrift ab. Die entsprechenden Ergebnisse dieser Abbildung nennt man Bildvektor, Bildgerade oder auch Bildebene.

Im Folgenden zeigen wir dir exemplarisch, wie Du mithilfe einer vorgegebenen Ebenengleichung und einer Abbildungsmatrix die Gleichung der Bildebene bestimmen kannst.

Gegeben ist die Abbildungsmatrix
Weiter ist folgende Ebene gegeben
Gesucht: Die Bildebene von unter , d.h. die Ebene, auf die die Ebene abbildet.
Schritte
  • Schritt 1: Stelle zunächst eine Parameterform von auf (Tipp: Benutze die Spurpunkte) :
  • Schritt 2: Wandle die Parameterform in einen einzigen Vektor um:
  • Schritt 3: Multipliziere den Vektor mit der Matrix:
  • Schritt 4: Schreibe die Ebenengleichung als Parameterform hin. Bei Bedarf wandle das Ergebnis in Koordinatenform um:
Hinweis: Auf die gleiche Weise kann man das Bild einer Gerade oder das Bild des gesamten Raumes bestimmen.

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Besondere lineare Abbildungen

Spiegelung

Eine Spiegelung am Koordinatenursprung wird beschrieben durch die Matrix

Zentrische Streckung

Eine zentrische Streckung bezüglich des Koordinatenursprungs mit dem Streckfaktor wird beschrieben durch die Matrix

Drehung

Eine Drehung der Vektoren in der Ebene (zweidimensionale Vektoren) um den Koordinatenursprung um den Winkel entgegen dem Uhrzeigersinn wird beschrieben durch die Matrix
Entsprechend wird eine Drehung der Vektoren des Raumes (dreidimensionale Vektoren) um die -Achse um den Winkel entgegen dem Uhrzeigersinn beschrieben durch die Matrix

Gegeben ist der Einheitsvektor in -Richtung, .
Gesucht ist der Vektor, der entsteht, wenn man um entgegen den Uhrzeigersinn dreht.

Die entsprechende Drehmatrix lautet
Multiplikation von und liefert .

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Zwei Geraden und stehen senkrecht aufeinander. Für ein beliebiges , sei folgende Matrix gegeben:

Begründe ohne Rechnung, warum die Bilder von und unter der Abbildung immer noch senkrecht aufeinander stehen.

Lösung zu Aufgabe 1

Die Matrix lässt sich auch schreiben als

Wendet man auf einen Vektor im an, so wird dieser zunächst um den Faktor verlängert und umgekehrt (Multiplikation mit ) und dann entgegen den Uhrzeigersinn um den Winkel gedreht.
Für die beiden Geraden bedeutet das, dass sie um den Winkel gedreht werden. Dabei ändert sich ihre Position zueinander nicht. Die Streckung und Richtungsänderung haben keine Auswirkungen auf das Aussehen der Geraden und insbesondere keinen Einfluss auf die Lage.
Folglich stehen die beiden Bilder der Geraden auch senkrecht aufeinander.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 17. 12. 2018