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Umfangreiche Geometrie-Aufgaben zur Abiturvorbereitung

Umfangreiche Geometrie-Aufgaben zur Abiturvorbereitung

Aufgabe 1

In einem Freizeitpark für Kinder steht ein hoher Freifall-Turm. Die gesamte Parkfläche liegt in der -Ebene. Nun wird in der Nähe des Freifall-Turmes ein Hang aufgeschüttet, der als Grundfläche für große Rutschen dienen soll. Der Hang liegt in der Ebene mit

Die senkrechte Mittelachse des Freifall-Turmes ist im Punkt verankert. Eine Längeneinheit entspricht .
  1. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene und den Neigungswinkel des Hanges.
  2. Bestimme die Spurpunkte von und skizziere die Ebene in einem geeigneten Koordinatensystem. Zeichne zusätzlich die Mittelachse des Freifall-Turmes ein.
  3. Das Fundament des Freifall-Turmes hat einen Durchmesser von . Für Warteschlangen, Wege und Grünflächen sollen zwischen dem Fuß des Hanges und dem Freifall-Turm mindestens Abstand sein. Kann dieser Mindestabstand hier eingehalten werden?
  4. Paralleles Sonnenlicht fällt in Richtung
    ein. Bestimme den Schattenpunkt der Spitze des Freifall-Turmes auf der Ebene .
  5. Bestimme den genauen Verlauf des Schattens der Mittelachse. An welcher Stelle geht der Schatten vom Boden auf den Hang über?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Zunächst ist eine Koordinatengleichung der Ebene
    gesucht. Zum Bestimmen eines Normalenvektors der Ebene wird das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnet:
    Ein Ansatz für eine Koordinatengleichung der Ebene ist also
    Durch Einsetzen eines Punktes der Ebene wird ermittelt und somit ist
    eine Koordinatengleichung der Ebene , in der die Oberfläche des aufgeschütteten Hangs liegt. Jetzt lässt sich der Neigungswinkel des Hanges gegenüber der -Ebene bestimmen. Es gilt:
    Der Neigungswinkel des Hanges beträgt also etwa .
  2. Gesucht sind die Spurpunkte der Ebene , also die Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen. Um den Spurpunkt zu ermitteln, werden in der Ebenengleichung gesetzt. Man erhält:
    Analog ergeben sich für und die Spurpunkte und :
    Mit Hilfe der Spurpunkte lässt sich dann die Ebene skizzieren:
  3. Gesucht ist der Abstand des Freifall-Turmes zum Fuß des Hanges. Es muss somit der Abstand des Punktes von der Geraden durch die Punkte und berechnet werden. Für gilt:
    Als erster Schritt wird nun eine Hilfsebene definiert, die den Punkt enthält und für die der Richtungsvektor von ein Normalenvektor ist. Dann ist
    ein Ansatz für die Koordinatengleichung der Ebene . Setzt man ein, ergibt sich . Eine Koordinatengleichung von ist also
    Nun wird die Gleichung der Geraden in die Ebenengleichung eingesetzt
    Damit ist dann
    der Schnittpunkt der Geraden durch den Fuß des Hanges mit der Hilfsebene . Jetzt kann der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Turmfundamentes in der -Ebene und dem Punkt berechnet werden:
    Der Abstand zwischen der Mitte des Turmfundamentes und der Hangkante beträgt also ungefähr beziehungsweise . Da das Fundament einen Durchmesser von hat, sind zwischen Hangkante und Freifallturm noch etwa Abstand für Warteschlangen, Wege und Grünflächen. Der Mindestabstand wird also eingehalten.
  4. Gesucht ist der Schattenpunkt der Turmspitze auf der Ebene . Es muss also der Schnittpunkt der Ebene
    mit der Geraden , die den Lichtstrahl von der Turmspitze zur Ebene enthält, berechnet werden. Es gilt
    Zur Bestimmung des Parameters für den Schattenpunkt wird die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt:
    Damit ist dann
    der Schattenpunkt der Spitze des Freifallturmes auf der Ebene .
  5. Gesucht ist der genaue Verlauf des Schattens der Turmmittelachse. Dieser liegt vom Fuß der Mittelachse bis zur Hangkante in der -Ebene und danach bis zum Schattenpunkt der Spitze in der Ebene . Die Projekton des Schattenpunktes in die -Ebene ist . Der Schatten verläuft also am Fuß des Turmes auf der Geraden:
    Für die weitere Rechnung ist es geschickt, den Richtungsvektor mit zu strecken. Dann gilt für die Gerade , die den Schatten enthält:
    Jetzt wird der Punkt berechnet, an dem der Schatten auf die Hangkante trifft, also der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene
    Diesen erhält man durch Einsetzen der Geraden- in die Ebenengleichung. Es gilt:
    Der Turmschatten trifft also im Punkt
    auf die Hangkante. Der restliche Teil des Schattens verläuft in der Ebene und dort auf der Geraden durch und den Schattenpunkt der Turmspitze . Es gilt:
    Den Richtungsvektor dieser Geraden streckt man am besten wiederum mit . Dann ist:
    eine Gleichung für die Gerade, in der der Schatten auf dem Hang liegt. Der Schatten des Turmes verläuft also ausgehend vom Fuß der Mittelachse des Turmes zunächst auf der Strecke
    trifft dann im Punkt
    auf die Hangkante und verläuft anschließend auf dem Hang auf der Strecke

Aufgabe 2

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte und gegeben. Diese drei Punkte liegen in der Ebene .

  1. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene . Die Punkte und beschreiben die Ecken eines Spiegels. Im Punkt befindet sich eine Lichtquelle, welche Licht in Richtung
    abstrahlt.
  2. Bestimme eine Gleichung der Geraden , in welcher der Lichtstrahl bis zum Auftreffen auf den Spiegel verläuft.
  3. Bestimme den Punkt , in dem der Lichtstrahl auf die Ebene trifft und entscheide, ob dieser innerhalb des Spiegels liegt.
  4. Für einen Betrachter, der in den Spiegel blickt, scheint es, als ob sich die Lampe im Punkt befindet. Zeige, dass der Punkt das Spiegelbild des Punktes ist.
  5. Einfallender und reflektierter Lichstrahl liegen in einer Ebene . Bestimme eine Koordinatengleichung von .
  6. Die zur Ebene senkrechte Gerade, welche durch den Punkt verläuft, wird als Einfallslot bezeichnet. Zeige, dass das Einfallslot auch eine Teilmenge der Ebene ist.
  7. Zeige, dass der Verlauf des Lichtstrahls im Einklang mit den physikalischen Gesetzen ist. Das heißt, der Winkel zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot ist gleich dem Winkel zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Gesucht ist eine Koordinatengleichung für die Ebene , welche die Punkte und enthält. Dafür werden zunächst zwei Spannvektoren der Ebene bestimmt. Es gilt
    Über das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren wird ein Normalenvektor der Ebene ermittelt:
    Damit ergibt sich als Ansatz für die Ebenengleichung
    Setzt man jetzt die Koordinaten eines der gegebenen Punkte ein, erhält man . Eine Koordinatengleichung der Ebene ist also
  2. Die Gleichung für die Gerade durch den Punkt mit dem Richtungsvektor
    lautet
    Innerhalb dieser Gerade verläuft der Lichtstrahl.
  3. Gesucht ist der Punkt , in dem der Lichtstrahl auf die Ebene trifft, also der Schnittpunkt dieser Ebene mit der Geraden . Zu dessen Bestimmung wird die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt:
    Mit dem so ermittelten Parameter für die Geradengleichung gilt:
    Das Licht trifft also im Punkt auf die Ebene . Nun soll überprüft werden, ob dieser Punkt auf dem Spiegel liegt. Dazu wird die Parameterform des Spiegels verwendet. Sie entspricht der Parameterform der Ebene mit dem Stützvektor und den Spannvektoren und :
    mit den zusätzlichen Bedingungen
    Um zu überprüfen, ob diese Bedingungen für erfüllt sind, werden die Koordinaten von in die Parameterform eingesetzt:
    und das entstandene Gleichungssystem gelöst:
    Beide Parameter und des Punktes erfüllen also die, für die Spiegelfläche gestellten, Bedingungen. Somit liegt der Punkt auf dem Spiegel.
  4. Es soll nachgewiesen werden, dass das, an der Ebene gespiegelte, Bild von ist. Es muss also gezeigt werden, dass und auf einer Geraden liegen, die senkrecht auf der Ebene steht. Außerdem muss der Abstand beider Punkte von der Ebene gleich groß sein. Zur Verdeutlichung des Sachverhaltes wird hier noch eine einfache, zweidimensionale und nicht maßstäbliche Skizze angegeben.
    Für die Angabe einer Gleichung der Geraden wird der Stützvektor zum Punkt und der schon ermittelte Normalenvektor der Ebene verwendet:
    Durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung wird der Parameters des Schnittpunktes der Geraden mit der Ebene bestimmt:
    Da in der Geradengleichung als Stützvektor verwendet wurde, lässt sich die Position seines Spiegelbildes durch die Verdopplung dieses Parameters ermitteln. Für das durch Spiegeln an erzeugte Bild von gilt also:
    Damit liegt auf der gleichen zur Ebene senkrechten Geraden wie der Punkt und der Abstand von zur Ebene ist derselbe wie der von zur Ebene . Folglich ist das, durch Spiegeln an entstandene, Bild des Punktes .
  5. Gesucht ist eine Koordinatengleichung für die Ebene , in welcher der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl liegen. Dafür werden unter Verwendung der drei Punkte und zwei Spannvektoren der Ebene bestimmt. Es gelten:
    Über das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren wird ein Normalenvektor der Ebene ermittelt:
    Damit ergibt sich als Ansatz für die Ebenengleichung
    Setzt man jetzt die Koordinaten eines der gegebenen Punkte ein, erhält man . Eine Koordinatengleichung der Ebene , in der der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl liegen, ist also gegeben durch:
  6. Es soll gezeigt werden, dass das Einfallslot in der gleichen Ebene wie der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl liegen. Man fertigt sich zunächst eine einfache, nicht maßstäbliche Skizze an:
    Die Gleichung der Geraden , in der das Einfallslot liegt, lässt sich mit Hilfe des Punktes und eines Normalenvektors der Ebene ermitteln. Es gilt:
    Jetzt wird noch die Lagebeziehung der Geraden zur Ebene untersucht, indem das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und des Normalenvektors der Ebene gebildet wird:
    Der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene stehen also senkrecht aufeinander. Da der Punkt der Schnittpunkt ist und in der Ebene liegt, liegt die Gerade und damit auch das Einfallslot in der Ebene .
  7. Es soll gezeigt werden, dass der Winkel zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot und der Winkel zwischen reflektiertem Lichtstrahl und Einfallslot gleich groß sind. Beide Winkel sind in der folgenden Skizze eingezeichnet.
    Die Schnittwinkel zwischen den Geraden lassen sich jeweils über deren Richtungsvektoren berechnen. Dabei ist
    Es gelten:
    und
    Also ist der Winkel zwischen dem reflektierten Strahl und dem Einfallslot gleich dem Winkel zwischen dem einfallenden Lichtstrahl und dem Einfallslot.

Aufgabe 3

Gegeben sind die Ebenenschar mit

der Punkt und die Geraden und mit
  1. Die Ebene enthält den Punkt und die Gerade . Bestimme eine Koordinatengleichung von . Zeige, dass die Ebene zur Schar gehört.
  2. Bestimme den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene .
  3. Untersuche die gegenseitige Lage von und zueinander.
  4. Bestimme so, dass die Ebene senkrecht zur Ebene steht.
  5. Bestimme den Schnittwinkel und die Schnittgerade der beiden Ebenen und .
  6. Schneiden sich alle Ebenen der Schar in einer Gerade? Falls ja, wie lautet die Gleichung dieser Gerade?
  7. Die Ebene entsteht durch Spiegelung der Ebene an einer weiteren Ebene. Begründe, dass es für diese weitere Ebene zwei Möglichkeiten und gibt. Bestimme jeweils eine Gleichung für und . Überprüfe, ob und der Schar angehören. Welche geometrische Bedeutung haben die Ebenen und ?

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Gesucht ist eine Ebene , die den Punkt und die Gerade
    enthält. Dabei kann der Stützvektor der Geraden auch als Stützvektor der Ebene verwendet werden. Als Spannvektoren lassen sich der Richtungsvektor der Geraden und der Vektor vom Stützvektor zum Punkt nutzen. Eine Parametergleichung für die Ebene ist also:
    Zum Umformen der Parametergleichung in eine Koordinatengleichung wird zunächst das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnet und daraus ein Normalenvektor der Ebene ermittelt:
    Ein Ansatz für eine Koordinatengleichung von ist also
    Setzt man die Koordinaten von ein, erhält man . Somit ist
    eine Koordinatengleichung für die Ebene .
    Außerdem soll gezeigt werden, dass diese Ebene zur Ebenenschar
    gehört. Der Koeffizientenvergleich für und ergibt:
    Also gilt und damit ist nachgewiesen, dass die Ebene zur Ebenenschar gehört.
  2. Gesucht ist der Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Ebene . Es gilt:
    Der Parameter für den Schnittpunkt wird durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung ermittelt:
    Wird nun als Parameter für die Geradengleichung verwendet, erhält man den gesuchten Schnittpunkt .
  3. Es soll die Lagebeziehung zwischen den beiden Geraden
    untersucht werden.
    Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind linear unabhängig, das heißt die beiden Geraden sind nicht parallel. Durch Gleichsetzen der Geradengleichung wird nun untersucht, ob sich die Geraden schneiden:
    Damit muss nun das folgende lineare Gleichungssystem gelöst werden:
    Die zweite Gleichung ergibt . Setzt man das in die erste und dritte Gleichung ein, ergibt sich
    und damit ein Widerspruch. Die beiden Geraden und haben also keinen Schnittpunkt und sind somit windschief.
  4. Gesucht ist ein , für das die Ebene senkrecht zur Ebene steht. Es gilt:
    Da zwei Ebenen genau dann senkrecht zueinander stehen, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen, wird deren Skalarprodukt berechnet und Null gesetzt:
    Die Ebene steht also senkrecht zur Ebene .
  5. Gesucht sind Schnittwinkel und Schnittgerade zwischen den beiden Ebenen
    Für den Schnittwinkel der beiden Ebenen gilt:

    Um die Schnittgerade für beide Ebenen zu ermitteln, muss das lineare Gleichungssystem
    gelöst werden. Wird die erste Gleichung mit multipliziert und zur zweiten dazu addiert, ergibt sich
    Jetzt wird gesetzt und anschließend werden und in Abhängigkeit vom Parameter berechnet.
    Einsetzen von in die erste Gleichung liefert
    Eine Gleichung für die Schnittgerade ist damit
    Ersetzt man in dieser Gleichung den Richtungsvektor durch den mit dem Faktor gestreckten, ergibt sich als Geradengleichung
  6. Wenn sich alle Ebenen der Ebenenschar
    in einer Geraden schneiden, dann muss dies die in der vorhergehenden Teilaufgabe ermittelte Gerade
    sein. Sie müsste dann die Gleichung für die Ebenenschar für alle erfüllen. Zur Überprüfung wird die Geradengleichung in die Gleichung für die Ebenenschar eingesetzt.
    Das ist eine wahre Aussage und somit erfüllt die Gleichung für die Gerade die Gleichung für die Ebenenschar unabhängig vom Wert des Parameters . Sie liegt damit in allen Ebenen der Schar. Damit ist
    die Gleichung der Geraden, in der sich alle Ebenen der Schar schneiden.
  7. Wenn die Ebene durch Spiegelung der Ebene an einer weiteren Ebene hervorgeht, dann halbiert diese Ebene den Winkel zwischen und . Daraus folgt, dass es zwei senkrecht aufeinander stehende Ebenen und gibt, die als Spiegelebene in Frage kommen. Der Abstand jedes Punktes der Ebene beziehungsweise zur Ebene gleich dem Abstand des selben Punktes zur Ebene .
    Es gilt
    und
    Beim Auflösen der Beträge müssen zwei Fälle unterschieden werden:
    Fall 1:
    Nach Auflösen der Beträge gilt:
    Damit ist
    eine Koordinatengleichung für die Ebene . Beim Koordinatenvergleich mit der Gleichung für die Ebenenschar muss beachtet werden, dass Koordinatengleichungen, die sich nur durch einen Faktor unterscheiden, dieselbe Ebene beschreiben. Es muss also das folgende Gleichungssystem gelöst werden:
    Aus den letzten beiden Gleichungen ergeben sich die Parameter und , deren Einsetzen in die oberen beiden Gleichungen ebenfalls wahre Aussagen liefert. Damit ist die Ebene gleich der Ebene . Sie gehört also zur Ebenenschar .
    Fall 2:
    Nach Auflösen der Beträge gilt:
    Damit ist
    eine Koordinatengleichung für die Ebene . Beim Koordinatenvergleich mit der Gleichung für die Ebenenschar muss wiederum beachtet werden, dass Koordinatengleichungen, die sich nur durch einen Faktor unterscheiden, dieselbe Ebene beschreiben. Es muss also das folgende Gleichungssystem gelöst werden:
    Aus den letzten beiden Gleichungen ergeben sich die Parameter
    deren Einsetzen in die oberen beiden Gleichungen ebenfalls wahre Aussagen liefert. Damit ist die Ebene gleich der Ebene . Sie gehört also ebenfalls zur Ebenenschar .
    Die Ebene entsteht also durch Spiegeln der Ebene an einer der beiden Ebenen
    Diese halbieren jeweils die Winkel zwischen und und gehören beide zur Ebenenschar . Dabei entspricht der Ebene und der Ebene .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018