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Vektorrechnung

Das Skalarprodukt

Erklärung

Einleitung

In der analytischen Geometrie gibt es drei Definitionen der Multiplikation:

  • das Skalarprodukt: Das Sklalarprodukt von zwei Vektoren ist eine reelle Zahl.
  • die skalare Multiplikation: Das Produkt einers Skalars (reelle Zahl) mit einem Vektor ist ein Vektor.
  • das Vektor- oder Kreuzprodukt: Das Kreuzprodukt (bzw. Vektorprodukt) zweier Vektoren ist ein Vektor, der auf den gegebenen Vektoren senkrecht steht.

  • Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ist definiert als:
  • Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht (rechtwinklig, orthogonal, im Lot) aufeinander, wenn :
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Beispiel

Die Vektoren
sind nicht orthogonal, denn es gilt:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Die Punkte beschreiben die Eckpunkte eines Dreiecks.

  1. Zeige, dass das Dreieck rechtwinklig ist und bestimme die Ecke des rechten Winkels.
  2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
  3. Bestimme einen Punkt , so dass das Dreieck rechtwinklig mit rechtem Winkel am Punkt ist.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Zunächst werden die Verbindungsvektoren der drei Seiten des Dreiecks berechnet:

    Nun kann auf Orthogonalität geprüft werden:
    Der rechte Winkel ist also bei Punkt .
  2. Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks lässt sich durch

    berechnen, wenn und die Schenkel am rechten Winkel sind. In diesem Fall ergibt sich
  3. Einen solchen Punkt erhält man beispielsweise, indem man den Punkt am Punkt spiegelt:

    Das Dreieck mit den Eckpunkten und ist rechtwinklig am Punkt .
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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 15. 07. 2019