Erklärung
Einleitung
Die Linearkombination von Vektoren ist ein Thema der Vektorrechnung. Es stellt eine Fortsetzung des Themas Vektorrechnung (Grundlagen) dar, sodass du diesen Abschnitt kennen solltest. In diesem Abschnitt lernst du, wie du durch Addition von Vielfachen von Vektoren zu einem neuen Vektor gelangst.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Untersuche die Vektoren
Lösung zu Aufgabe 1
-
Das zugehörige LGS lautet:
Nach Lösung des LGS mit Hilfe des Gaußverfahrens ergibt sich als einzige LösungDie Vektoren, und sind also linear unabhängig. -
Das zugehörige LGS lautet:
Im Verlauf des Gaußverfahrens entsteht eine Nullzeile.Das LGS ist also unterbestimmt ist und hat unendliche viele Lösungen, zum Beispiel
Damit sind die Vektoren linear abhängig.
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme einen Vektor
- linear abhängig beziehungsweise
- linear unabhängig sind.
Lösung zu Aufgabe 2
Bei dieser Aufgabe gibt es viele Lösungsmöglichkeiten, im Folgenden wird eine einfache dargestellt.
-
Einen weiteren linear abhängigen Vektor zu finden ist immer leicht, man kann einfach ein Vielfaches von einem der Ausgangsvektoren bilden, also zum Beispiel:
-
Für einen weiteren linear unabhängigen Vektor ist es praktisch, einen Vektor auszuprobieren, bei dem zwei Komponenten gleich
sind, also zum Beispiel: Mit diesem ergibt sich zum Prüfen der linearen Unabhängigkeit das LGSaus dem sofortund folgt. Somit erhält man in der dritten Zeile die Gleichung: Damitgelten muss, kann man nun also ein beliebiges wählen mit der Eigenschaft . Damit erhält man als mögliche Lösung: Für diesen Vektorsind die Vektoren , und linear unabhängig. Dieses Verfahren funktioniert nur dann nicht, wenn sich in der dritten Zeile des LGS eine Nullzeile ergibt. Dann müsste man das Verfahren mit einem weiteren Vektor wiederholen, zum Beispiel mit
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Wenn man ein beliebiges Dreieck in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnet und die Seiten als Vektoren auffasst, sind diese drei Vektoren dann linear abhängig, linear unabhängig oder kann je nach Dreieck beides auftreten?
Lösung zu Aufgabe 3
Zunächst beschriftet man ein (beliebiges) Dreieck wie folgt:
Also sind die Vektoren