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Linearkombination von Vektoren

Linearkombination von Vektoren

Merksatz

Wenn man beliebige Vielfache von Vektoren addiert, so erhält man eine Linearkombination aus diesen Vektoren:

Dasselbe kann man auch mit drei, vier oder noch mehr Vektoren machen. Findet man eine Linearkombination für und mit Zahlen und , von denen mindestens eine ungleich 0 ist, sodass
gilt, so nennt man die Vektoren und linear abhängig, ansonsten heißen sie linear unabhängig. Auch dies kann man mit beliebig vielen Vektoren machen.

Um zu prüfen, ob die Vektoren , und linear unabhängig sind, stellt man ein LGS auf:

Erhält man als einzige Lösung , und , so sind die Vektoren , und linear unabhängig, ansonsten sind sie linear abhängig.

Beispiel

Die folgenden drei Vektoren werden auf lineare Abhängigkeit geprüft:

Als erstes versucht man, den Nullvektor als Linearkombination aus den drei Vektoren darzustellen.
Wenn man die Zeilen einzeln aufschreibt, erhält man ein LGS:
Dessen einzige Lösung ist: , und . Also sind die Vektoren linear unabhängig.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Untersuche die Vektoren , und auf lineare Abhängigkeit.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Das zugehörige LGS lautet:

    Nach Lösung des LGS mit Hilfe des Gaußverfahrens ergibt sich als einzige Lösung
    Die Vektoren , und sind also linear unabhängig.
  2. Das zugehörige LGS lautet:

    Im Verlauf des Gaußverfahrens entsteht eine Nullzeile.

Das LGS ist also unterbestimmt ist und hat unendliche viele Lösungen, zum Beispiel

Damit sind die Vektoren linear abhängig.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **-***

Bestimme einen Vektor so, dass die Vektoren , und

  1. linear abhängig beziehungsweise
  2. linear unabhängig sind.

Lösung zu Aufgabe 2

Bei dieser Aufgabe gibt es viele Lösungsmöglichkeiten, im Folgenden wird eine einfache dargestellt.

  1. Einen weiteren linear abhängigen Vektor zu finden ist immer leicht, man kann einfach ein Vielfaches von einem der Ausgangsvektoren bilden, also zum Beispiel:

  2. Für einen weiteren linear unabhängigen Vektor ist es praktisch, einen Vektor auszuprobieren, bei dem zwei Komponenten gleich sind, also zum Beispiel:

    Mit diesem ergibt sich zum Prüfen der linearen Unabhängigkeit das LGS
    aus dem sofort und folgt. Somit erhält man in der dritten Zeile die Gleichung:
    Damit gelten muss, kann man nun also ein beliebiges wählen mit der Eigenschaft . Damit erhält man als mögliche Lösung:
    Für diesen Vektor sind die Vektoren , und linear unabhängig. Dieses Verfahren funktioniert nur dann nicht, wenn sich in der dritten Zeile des LGS eine Nullzeile ergibt. Dann müsste man das Verfahren mit einem weiteren Vektor wiederholen, zum Beispiel mit

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: ***

Wenn man ein beliebiges Dreieck in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnet und die Seiten als Vektoren auffasst, sind diese drei Vektoren dann linear abhängig, linear unabhängig oder kann je nach Dreieck beides auftreten?

Lösung zu Aufgabe 3

Zunächst beschriftet man ein (beliebiges) Dreieck wie folgt:

Beliebig deswegen, weil man das für alle Dreiecke machen kann. Es spielt in diesem Fall keine Rolle, welche Seite wie lang ist, solange nur ein Dreieck dabei entsteht. Aus der Vektoraddition weiß man, dass
gilt. Wenn man nun auf beiden Seiten subtrahiert, erhält man
Die Koeffizienten, die zuvor , und genannt wurden, sind hier alle ungleich . Damit hat man eine Möglichkeit gefunden, den Nullvektor als Linearkombination aus den drei Vektoren zu erhalten.

Also sind die Vektoren , und , die man aus den Seiten eines Dreiecks erhält, immer linear abhängig.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018