cross
Vektorrechnung

Strahlensatz

Erklärung

Einleitung

Die Strahlensätze machen Aussagen über Streckenverhältnisse, wenn zwei Geraden sich schneiden und von einem Paar paralleler Geraden geschnitten werden. Die Aussagen sind Folgerungen aus der zentrischen Streckung, wobei das Zentrum der Streckung der Schnittpunkt der beiden Geraden ist. Das Thema wird i.a. in der 10. Klasse behandelt, findet aber Anwendung in der

  • Vektorrechnung und
  • Stereometrie.
In diesem Artikel werden die Aussagen der beiden Strahlensätze vorgestellt.

Sind die Strecken und parallel, so gelten folgende Beziehungen:
  1. Erster Strahlensatz:
  2. Zweiter Strahlensatz:
Hinweis
Folgende Bezeichnungen werden verwendet: Strecke .   Länge der Strecke .

Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Höhe und die Grundseite .
Die Strecke befindet sich im Abstand von von der Grundseite. Man kann den 2. Strahlensatz verwenden, um die Länge der Strecke zu bestimmen. Es gilt:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Sei eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche und Spitze . Die Grundseite hat die Länge und die Höhe der Pyramide beträgt ebenfalls .

  1. In der Pyramide wird ein zur Grundfläche paralleler Zwischenboden eingezogen. Der Zwischenboden teilt die Seitenkanten im Verhältnis (ausgehend von der Grundfläche).
    Welchen Flächeninhalt hat der Zwischenboden?
  2. Auf den Kanten und liegen die Punkte beziehungsweise . Beide Punkte haben dieselbe Höhe über der Grundfläche. Ihr Abstand beträgt .
    Wie hoch befinden sie sich über der Grundfläche?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Grundfläche des Zwischenbodens wird von den Eckpunkten , , und begrenzt. Diese befinden sich auf den jeweiligen Seitenkanten. Man wendet dafür den Strahlensatz im Dreieck an.

    Nach Aufgabenstellung gilt:
    Mit dem 2.Strahlensatz folgt daher:
    Der quadratische Zwischenboden hat Kantenlänge . Somit ist sein Flächeninhalt .
  2. Betrachten wir nun das Dreieck mit den zusätzlichen Punkten und :

    Außerdem sei der Mittelpunkt der Strecke und der Mittelpunkt der Strecke . Aus dem Aufgabentext folgt, dass gilt . Dann gilt für die Höhe des Bodens nach dem zweiten Strahlensatz:
    Aus der Aufgabenstellung erhält man:
    Mit dem Satz des Pythagoras gilt:
    und somit
    Die Punkte und haben eine Höhe von etwa über der Grundfläche.
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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 01. 08. 2019