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Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung

Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung

Merksatz

Eine Folge von Zufallsexperimenten, die jeweils nur zwei Ausgänge (Treffer/Niete) haben, und deren Trefferwahrscheinlichkeit immer gleich ist, nennt man Bernoulli-Kette. Die Verteilung der Anzahl der Treffer in solch einer Kette nennt man Binomialverteilung. Ist die Trefferwahrscheinlichkeit und wird das Experiment mal durchgeführt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau Treffer erzielt werden gleich:

Das Modell der Binomialverteilung ist immer dann geeignet, wenn Versuche durchgeführt werden, die
  • genau zwei verschiedene Ausgänge (Treffer/Niete) haben,
  • voneinander unabhängig sind.

Beispiel

Ein Würfel wird 10 mal gewürfelt. Man betrachtet die Ereignisse

  • [:] Es wird genau zweimal eine 6 gewürfelt.
  • [:] Es wird mindestens zweimal eine 6 gewürfelt. Es sollen die Wahrscheinlichkeiten von und ermittelt werden.

Es gilt:

Um das Ereignis direkt mit der Binomialverteilung zu berechnen, müsste man die Wahrscheinlichkeiten von bis aufaddieren. Da dies sehr umständlich ist, kann man mit dem Gegenereignis arbeiten:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Eine Infektion mit dem Ebolavirus vom Stamm EBOV, so wie er im Jahre 2014 in Westafrika auftrat, verläuft in etwa der Fälle tödlich. Anfang Dezember 2014 wurden 1200 Neuinfektionen gemeldet. Interpretiere den folgenden Term im Sachzusammenhang.

Lösung zu Aufgabe 1

Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit (), dass maximal 400 der Neuinfizierten am Ebolavirus sterben. Die Summe läuft dabei über Null bis zu 400 tödlich verlaufenden Fällen.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **-***

Eine kleine Werkstatthalle soll durch das untere Koordinatensystem vereinfacht werden. Ein Roboter beginnt im Koordinatenursprung sich auf den Weg zu seiner Ladestation zu machen. Einmal pro Minute macht der Roboter einen Schritt. Dabei bewegt er sich jeweils einen Meter weiter und zwar entweder nach rechts (d.h. in -Richtung) oder nach oben (d.h. in -Richtung). Der Roboter entscheidet bei jedem Schritt neu in welche Richtung er sich bewegt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach rechts beträgt dabei .

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt der Roboter zur Ladestation, die sich bei befindet?
  2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt der Roboter dabei über die Messstation zur Ladestation ?

Lösung zu Aufgabe 2

Es handelt sich um eine Binomialverteilung, da nur interessiert, ob der Roboter nach rechts () oder nach oben geht. Die Wahrscheinlichkeit bleibt die ganze Zeit über gleich.

  1. Um nach zu gelangen muss der Roboter insgesamt 7 Schritte nach rechts und 6 Schritte nach oben gehen. Damit ergibt sich:
    Bei einer Ausführung von 13 Schritten muss er also 7 Schritte in -Richtung gehen. Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er zu gelangt, wie folgt berechnen:
    Der Roboter gelangt mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr zur Ladestation.
  2. Der Weg des Roboters muss nun in zwei Teilwege zerlegt werden. Der Weg zur Messstation erfordert Schritte, von denen 5 nach rechts gesetzt werden müssen. Damit ergibt sich:
    Für den zweiten Teilweg verbleiben nun Schritte, von denen nach rechts gesetzt werden müssen. Dann gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Roboter beide Wege geht, ergibt sich dann aus dem Produkt beider Wahrscheinlichkeiten:
    Der Roboter kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von sowohl bei als auch bei vorbei.

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **-***

Bad Max öffnet den Kofferraum des großen grauen Lieferwagens und wendet sich Really Bad John zu: "Da hast du's! Einen ganzen Lieferwagen voller Päckchen mit feinstem weißen Zeug. Jetzt sind wir quitt" Really Bad John knurrt: "Du weißt, Bad Max, wenn mehr als zehn Prozent der Beutel kein feines weißes Zeug beinhalten, dann mach' ich dich platt. Darum machen wir jetzt Folgendes: Ich überprüfe fünf Päckchen. Und wenn darunter ein oder mehrere Päckchen kein feines weißes Zeug enthalten, dann\ldots " Während Really Bad John sich symbolisch mit einem Finger über die Kehle streicht mischt sich Really Bad Johns Freundin Evil Emma ein: "Ich habe eine bessere Idee. Du überprüfst zwanzig Beutel. Wenn darunter drei oder mehr kein feines weißes Zeug enthalten, dann " Und auch Evil Emma streicht mit ihrem Zeigefinger über ihre Kehle. Bad Max schwitzt wie ein Hund, denn er hat tatsächlich zehn Prozent der Päckchen nicht mit feinem weißen Zeug befüllt. Bad Max überlegt. Bad Max rechnet. Soll er sich für Really Bad Johns oder für Evil Emmas Vorschlag entscheiden?

Lösung zu Aufgabe 3

Die Wahrscheinlichkeit für ein Päckchen ohne feines weißes Zeug beträgt . Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass Really Bad John und Evil Emma davon ausgehen, dass sich in mehr als der Beutel kein feines weißes Zeug befindet.

  • Really Bad John überprüft Beutel. Dann gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass Really Bad John dann Bad Max an den Kragen möchte, beträgt also ungefähr .
  • Evil Emma überprüft Beutel. Dann gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass Evil Emma dann Bad Max an den Kragen möchte, beträgt also ungefähr . Bad Max sollte damit die Variante von Evil Emma wählen.

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: *

Beim Roulette wird eine Kugel in einen rotierenden Kessel geworfen. Die Kugel kann in einem der 37 Fächern, nummeriert von 0 bis 36, zum liegen kommen. Jeweils 18 Fächer sind rot bzw. schwarz. Es werden 37 Spiele gespielt.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass exakt zweimal die 13 kommt?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zehn- und höchstens zwölfmal rot kommt?

Lösung zu Aufgabe 4

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018