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Kumulierte Binomialverteilung

Kumulierte Binomialverteilung

Merksatz

Mit Hilfe der Formel für die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Bernoulli-Kette kann man es sich ersparen, große Baumdiagramme zu zeichnen. Oft muss man allerdings trotzdem noch sehr viele einzelne Trefferwahrscheinlichkeiten ausrechnen und addieren, beispielsweise wenn man sich für eine Wahrscheinlichkeit interessiert.

Für solche Fälle wird die kumulierte Binomialverteilung wie folgt definiert:

In den meisten Lehrbüchern und Tafelwerken/Formelsammlungen gibt es Tabellen zur kumulierten Binomialverteilung für , , , und mit jeweils vielen unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten . Eine andere Möglichkeit ist die Benutzung eines graphikfähigen Taschenrechners.

Beispiel

Ein Würfel wird fünfzigmal geworfen. Wie wahrscheinlich ist es, dass höchstens zehnmal eine geworfen wird? Gegeben:

  • : Anzahl der geworfenen Vieren

Gesucht:

Anstatt nun mühsam

auszurechnen, kann man das gesuchte Ergebnis einfach mit Hilfe der kumulierten Binomialverteilung mit bestimmen:

Rechenregeln zur kumulierten Binomialverteilung

Die kumulierte Binomialverteilung liefert nur Antworten auf Fragestellungen wie:

also wenn nach gefragt ist.

Man benötigt aber auch ein Verfahren für die Fragestellungen weniger als, also , mehr als, also und mindestens, also .

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten über alle Trefferanzahlen ist gleich eins, schließlich erhält man bei Versuchen stets irgendeine Anzahl von Treffern. Damit ergeben sich folgende einfache Regeln:

Mit Hilfe dieser Regeln kann man sich dann auch Fragestellungen wie

erschließen.

Beispiel

Eine faire Münze wird hundertmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

  • mehr als -mal Kopf erscheint?
  • mindestens -mal Kopf erscheint?
  • mehr als -mal und weniger als -mal Kopf erscheint? Alle diese Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit den gerade gelernten Regeln einfach bestimmen:

  • Es gilt:

Verfahren mit Hilfe des Taschenrechners

Wenn man im Abitur einen Taschenrechner benutzen darf, der über eine Summationsfunktion verfügt, gestalten sich Beispiele wie das obige einfacher. In diesem Falle kann man derartige Aufgaben als Summe schreiben und dann direkt in den Taschenrechner eingeben.

Es ist trotzdem empfehlenswert, den Umgang mit den Tabellen zu beherrschen, da die Taschenrechner zur Berechnung umfangreicher Summen teilweise sehr lange brauchen.

Beispiel

Es wird dasselbe Beispiel wie oben betrachtet. Bei der Lösung mit dem Taschenrechner muss man die Aufgabenstellung in eine Summe umschreiben und dann eingeben:

  • ,
  • ,
  • .

Aufgabe 1

Ein Bogenschütze trifft das Zentrum der Zielscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von . Während einer Trainingseinheit schießt er fünfzig Pfeile auf die Zielscheibe.

  1. Wie wahrscheinlich ist es, dass er genau -mal trifft?
  2. Wie wahrscheinlich ist es, dass er höchstens -mal trifft?
  3. Wie wahrscheinlich ist es, dass er mindestens -mal trifft?
  4. Wie wahrscheinlich ist es, dass er mehr als -mal und höchstens -mal trifft?
  5. Wie wahrscheinlich ist es, dass er beim . und beim . Mal trifft?
  6. Gib ein Argument an, welches gegen eine Verwendung der Binomialverteilung bei dieser Bogenschützenaufgabe spricht.

Lösung zu Aufgabe 1

Gegeben:

  • : Anzahl der Treffer
  1. Sobald die Reihenfolge der Versuche wichtig wird, kann man nicht mehr mit der Binomialverteilung argumentieren. Die Wahrscheinlichkeiten beim . und beim Mal sind unabhängig von den anderen Versuchen, insofern gilt (Treffer beim . und . Mal)
  2. Bei der Binomialverteilung wird davon ausgegangen, dass sich die Trefferwahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch nicht ändert. Während einer Trainingseinheit kann dies allerdings durchaus passieren, zum Beispiel durch Windeinfluss, Ermüdung oder Steigerung der Leistung nach einigen Schüssen.

Aufgabe 2

Zwanzig Prozent der Menschen in Deutschland, die älter als vierzig Jahre sind, können sich etwas unter dem Begriff "Hashtag" vorstellen. Man wählt zufällig eine Gruppe von dieser Menschen aus.

  1. Warum kann man bei dieser Aufgabenstellung nur näherungsweise von einer Binomialverteilung ausgehen?
  2. Wie wahrscheinlich ist es, dass sich mindestens vier dieser Menschen etwas unter dem Begriff vorstellen können?
  3. Wie wahrscheinlich ist es, dass sich mindestens neun und höchstens siebzehn dieser Menschen nichts unter dem Begriff vorstellen können?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Die zwanzig Menschen werden aus einer sehr großen Gruppe ausgesucht. Trotzdem handelt es sich im Prinzip um ein Ziehen ohne Zurücklegen, das heißt, die Wahrscheinlichkeit verändert sich, sobald man eine Person gewählt hat. Genauer gesagt sinkt die Wahrscheinlichkeit minimal, wenn man eine Person ausgesucht hat, die nichts mit dem Begriff anfangen kann, dass es der nächsten Person genau so geht. Da der Unterschied jedoch bei einer so großen "Urne"derartig gering ist, kann man in ausgezeichneter Näherung mit der Binomialverteilung arbeiten.
  2. Hier muss man die Fragestellung beachten, es geht plötzlich um die Menschen, die nichts mit dem Begriff anfangen können.
    Insofern gilt hier .

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

In der Stadt Fietshausen wird bekanntlich viel Fahrrad gefahren. Laut einer Statistik eines deutschlandweiten Fahrradclubs sind ein Drittel aller Fahrräder in Deutschland codiert, d. h. mit einem Code versehen, welcher der Polizei Auskunft über den Besitzer gibt, um es bei Diebstahl wiederfinden zu können.

Der Fahrradverband Fietshausen möchte in Zusammenarbeit mit der örtlichen Polizei mit einer Aktion auf die Vorteile einer Codierung aufmerksam machen und führt an einer Hauptstraße eine 3-stündige Kontrolle durch. Hierbei werden 100 Fahrräder gesichtet.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau 33 der gesichteten Fahrräder codiert sind. Bestimme zudem die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 50 Fahrräder codiert sind.
  2. Bei der Kontrolle besteht die Möglichkeit, das Fahrrad direkt im Anschluss codieren zu lassen. Bei einer ähnlichen Aktion in der ebenso fahrradbegeisterten Nachbarstadt Velokirchen wurde die Erfahrung gemacht, dass der kontrollierten Fahrradfahrer, die keine Codierung haben, dieses Angebot in Anspruch nehmen. Mit wie vielen Neucodierung kann die Polizei im Schnitt bei solch einer Kontrolle rechnen?

Lösung zu Aufgabe 3

  1. : Anzahl codierter Fahrräder.
  2. Sei : Anzahl der nicht-codierten Fahrräder. Zunächst bestimmt man den Erwartungswert von . Dieser beträgt für eine binomialverteilte Zufallsvariable . Also folgt:
    Weiter weiß man, dass die Hälfte aller nicht-codierten Fahrräder neucodiert werden. Die Anzahl der erwarteten Neucodierungen ist daher:
    Im Schnitt ist also etwa mit 33 Neucodierungen zu rechnen.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018