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Irrtumswahrscheinlichkeiten berechnen (Hypothesentest Aufgabentyp 1)

Irrtumswahrscheinlichkeiten berechnen (Hypothesentest Aufgabentyp 1)

Merksatz

Gegeben:

  • (binomialverteilte Zufallsvariable)
  • (Hypothese )
  • (Stichprobenlänge)
  • (Entscheidungsregel)

Gesucht:

  • (Irrtumswahrscheinlichkeit)

  • Fall 1: (Linkseitiger Hypothesentest). Dann gilt:

  • Fall 2: (Rechtsseitiger Hypothesentest). Dann gilt:

Tipp: Zur Bestimmung von benötigt man oft einen Taschenrechner oder eine statistische Tabelle.

Beispiel

Bevor ein Großkunde eine sehr große Menge an Schokoladentafeln abnimmt, wird die Hypothese

getestet. Hierzu wird folgende Entscheidungsregel festgesetzt:

Es werden 10 Tafeln gesichtet. Werden darunter 2 oder mehr Tafeln als fehlerhaft bemerkt, wird die -Hypothese abgelehnt und der Kauf findet nicht statt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art.

Gegeben:

  • (Also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit )
  • (Stichprobenlänge)
  • (Entscheidungsregel: Ab wird abgelehnt.)

Gesucht:

  • (Irrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art.) Es gilt:
    Mit einer Wahrscheinlichkeit von wird mit dieser Entscheidungsregel also ein Fehler erster Art begangen. Die Entscheidungsregel ist also nicht besonders gut.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Der Parteivorstand der Partei Für Mehr Politik (kurz FMP) verkündet folgende Entscheidungsregel: "Wir befragen zufällig ausgewählte Personen, ob sie uns nächsten Sonntag wählen." Wenn davon 160 oder mehr Personen bekunden, dass sie uns wählen werden, dann verwerfe ich meine Hypothese, dass wir maximal der Stimmen bekommen werden.

  1. Angenommen 160 oder mehr befragte Personen teilen mit, dass sie die Partei Für Mehr Politik wählen. Welche der beiden Überzeugungen wird die Hypothese des Vorstandes ersetzen?
  • [:] Wir werden weniger als der Stimmen bekommen.
  • [:] Wir werden mehr als der Stimmen bekommen.
  1. Berechne das Signifikanzniveau, zu welchem der Parteivorstand seine Entscheidungsregel testet.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Da 160 oder mehr der befragten Personen angeben die Partei FMP zu wählen, wird ein noch größerer Wahlanteil erwartet. Die Überzeugung lautet dann also:

  2. Gegeben ist:

- (Also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit .) - (Stichprobenlänge) - (Entscheidungsregel: Ab wird abgelehnt.)

Gesucht ist:

  • (Irrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art.) Es gilt:
    Mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp wird mit dieser Entscheidungsregel also ein Fehler erster Art begangen.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Peter besitzt zwei Würfel:

  • [:] Fairer Würfel: Jede Zahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von geworfen.
  • [:] Gezinkter Würfel: Die Zahl 6 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von geworfen. Alle anderen Zahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von .

Peter ist sich fast sicher, dass der rote Würfel, den er gerade in der Hand hat, der faire Würfel ist.
Doch um sicher zu gehen möchte er seine Hypothese testen.
Hierzu überlegt er sich folgende Regel: Er möchte zehnmal würfeln und sich die Anzahl der auftretenden Sechsen notieren.
Wird dreimal oder weniger eine Sechs gewürfelt, dann hält er an seiner Hypothese fest. Ansonsten geht er davon aus, dass er den Würfel in der Hand hält. Bestimme die Fehlerwahrscheinlichkeit erster und zweiter Art bei Peters Vorgehen.

Lösung zu Aufgabe 2

Peters Nullhypothese lautet:

  • [:] Der rote Würfel ist der faire Würfel.
  • Für einen Fehler 1.Art wird irrtürmlich abgelehnt.

Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit für eine sechs beträgt tatsächlich . Dennoch werden oder mehr Sechsen gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

Peter begeht damit mit einer Wahrscheinlichkeit von einen Fehler 1. Art.
  • Für einen Fehler 2. Art wird irrtürmlich angenommen.

Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit für eine sechs beträgt aber . Dennoch werden weniger als Sechsen gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

Peter begeht damit mit einer Wahrscheinlichkeit von einen Fehler 2. Art.

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Hanna muss für den morgigen Lateintest noch Vokabeln lernen. Um noch eine zwei zu schreiben, kann sie bis zu der Vokabelfragen fehlerhaft beantworten. Da sie sich heute Abend lieber noch mit Freunden treffen möchte als Vokabeln zu büffeln, überlegt sie sich folgende Regel:

Sie möchte zehn Vokabeln wiederholen. Kann sie davon drei oder weniger nicht, dann hält sie an ihrer Hypothese, dass sie genug lernt hat, um eine zwei zu schreiben, fest. Ansonsten geht sie davon aus, dass sie noch weiter lernen muss, um morgen eine zwei zu schreiben.

  1. Bestimme den Fehler erster Art.
  2. Angenommen Hanna weiß in Wirklichkeit nur der Vokabeln. Wie groß ist der Fehler zweiter Art?

Lösung zu Aufgabe 3

Hannas Nullhypothese lautet:

  • [:] Sie kann genug Vokabeln, um morgen eine zwei zu schreiben.
  1. Bezeichne die Anzahl der nicht gewussten Vokabeln. Dann ist binomialverteilt mit und . Bei einem Fehler 1. Art wird irrtümlich abgelehnt. Das bedeutet, dass sie tatsächlich mindestens der Vokabeln kann. Dennoch wusste sie 4 oder mehr nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

    Hanna begeht damit mit einer Wahrscheinlichkeit von einen Fehler 1.Art.
  2. Für einen Fehler 2.Art wird irrtümlich angenommen. Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit für eine nicht gekonnte Vokabel beträgt nach unserer Annahme . Dennoch wusste sie weniger als Vokabeln nicht. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt:

    Hanna begeht damit mit einer Wahrscheinlichkeit von einen Fehler 2. Art. Das heißt, sie trifft sich mit ihren Freunden, obwohl sie die Vokabeln noch nicht gut genug kann.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018