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Konfidenzintervalle

Grundlagen von Konfidenzintervallen

Erklärung

Was ist ein Konfidenzintervall?

Für eine normalverteilte oder binomialverteilte Zufallsvariable mit erfüllter Laplace-Bedingung sei der Erwartungswert und die Standardabweichung gegeben.
Das Intervall um , in dem ein Stichprobenergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von liegt, heißt Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau .

Die Schuhgröße von deutschen Frauen ist normalverteilt mit Erwartungswert .
Ein Hersteller möchte nun für aller Frauen Schuhe anbieten können.
Die angebotenen Schuhgrößen befinden sich dann alle innerhalb des Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau um die Schuhgröße herum.

Was ist die 68 - 98,5 - 99,7 - Regel?

Ist die Zufallsvariable normalverteilt oder unter Erfüllung der Laplace-Bedingung binomialverteilt mit Erwartungswert und Standardabweichung , so gilt die -Regel, das heißt
  • Konfidenzintervalle zu anderen Konfidenzniveaus müssen berechnet werden.

Wir schauen uns an, wie diese Regel in anwendungsbezogenen Aufgaben verwendet werden kann:

Felix besitzt eine Chocolaterie und verkauft pro Tag durchschnittlich Pralinen.
Die Standardabweichung beträgt Stück.
Das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau entspricht .
Das heißt, die Anzahl der verkauften Pralinen an einem Tag liegt zu zwischen 660 Pralinen und 940 Pralinen.

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Bestimmung des Konfidenzintervalls zu einem bestimmten Konfidenzniveau

Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert und Standardabweichung .
Dann ist das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau gegeben durch
Dabei wird gerade so gewählt, dass gilt:
In der konkreten Rechnung muss also die Tabelle "rückwärts"gelesen bzw. der passende Wert für die -Funktion gefunden werden.

Im folgenden Rezept zeigen wir dir, wie du mithilfe von 3 Schritten das Konfidenzintervall zu einem gegebenen Konfidenzniveau berechnen kannst:

Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit , .
Gesucht ist das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau .

  • Schritt 1: Man berechnet zunächst
  • Schritt 2: Dann ermittelt man in der Normalverteilungstabelle den zugehörigen -Wert. Man liest ab:
  • Schritt 3: Das gesuchte Intervall ist dann gegeben durch
Somit liegen aller Werte der Zufallsvariable im Intervall .

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Der Intelligenzquotient (IQ) deutscher Erwachsener ist normalverteilt mit Erwartungswert und Standardabweichung .
In welchem Intervall um befinden sich die Intelligenzquotienten von

  1. aller deutscher Erwachsener?
  2. aller deutscher Erwachsener?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Das gesuchte Intervall entspricht der 3-Sigma-Umgebung. Dementsprechend gilt für das Intervall:
    Etwa aller Deutschen haben einen IQ zwischen 55 und 145.
  2. Gesucht ist mit
    Ein Blick in die Tabelle verrät: . Somit ist das Intervall
    Etwa aller Deutschen haben einen IQ zwischen 61,3 und 138,7.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 21. 12. 2018