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Konfidenzintervalle

Grundlagen von Konfidenzintervallen

Erklärung

Was ist ein Konfidenzintervall?

Für eine normalverteilte oder binomialverteilte Zufallsvariable mit erfüllter Laplace-Bedingung sei der Erwartungswert und die Standardabweichung gegeben.
Das Intervall um , in dem ein Stichprobenergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von liegt, heißt Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau .

Die Schuhgröße von deutschen Frauen ist normalverteilt mit Erwartungswert .
Ein Hersteller möchte nun für aller Frauen Schuhe anbieten können.
Die angebotenen Schuhgrößen befinden sich dann alle innerhalb des Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau um die Schuhgröße herum.

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Was ist die 68 - 98,5 - 99,7 - Regel?

Ist die Zufallsvariable normalverteilt oder unter Erfüllung der Laplace-Bedingung binomialverteilt mit Erwartungswert und Standardabweichung , so gilt die -Regel, das heißt
  • Konfidenzintervalle zu anderen Konfidenzniveaus müssen berechnet werden.

Wir schauen uns an, wie diese Regel in anwendungsbezogenen Aufgaben verwendet werden kann:

Felix besitzt eine Chocolaterie und verkauft pro Tag durchschnittlich Pralinen.
Die Standardabweichung beträgt Stück.
Das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau entspricht .
Das heißt, die Anzahl der verkauften Pralinen an einem Tag liegt zu zwischen 660 Pralinen und 940 Pralinen.

Bestimmung des Konfidenzintervalls zu einem bestimmten Konfidenzniveau

Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert und Standardabweichung .
Dann ist das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau gegeben durch
Dabei wird gerade so gewählt, dass gilt:
In der konkreten Rechnung muss also die Tabelle "rückwärts"gelesen bzw. der passende Wert für die -Funktion gefunden werden.

Im folgenden Rezept zeigen wir dir, wie du mithilfe von 3 Schritten das Konfidenzintervall zu einem gegebenen Konfidenzniveau berechnen kannst:

Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit , .
Gesucht ist das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau .

  • Schritt 1: Man berechnet zunächst
  • Schritt 2: Dann ermittelt man in der Normalverteilungstabelle den zugehörigen -Wert. Man liest ab:
  • Schritt 3: Das gesuchte Intervall ist dann gegeben durch
Somit liegen aller Werte der Zufallsvariable im Intervall .

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Der Intelligenzquotient (IQ) deutscher Erwachsener ist normalverteilt mit Erwartungswert und Standardabweichung .
In welchem Intervall um befinden sich die Intelligenzquotienten von

  1. aller deutscher Erwachsener?
  2. aller deutscher Erwachsener?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Das gesuchte Intervall entspricht der 3-Sigma-Umgebung. Dementsprechend gilt für das Intervall:
    Etwa aller Deutschen haben einen IQ zwischen 55 und 145.
  2. Gesucht ist mit
    Ein Blick in die Tabelle verrät: . Somit ist das Intervall
    Etwa aller Deutschen haben einen IQ zwischen 61,3 und 138,7.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 21. 12. 2018