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Grundlagen von Konfidenzintervallen

Grundlagen von Konfidenzintervallen

Konfidenzintervall

Für eine normalverteilte oder binomialverteilte Zufallsvariable mit erfüllter Laplace-Bedingung sei der Erwartungswert und die Standardabweichung gegeben. Das Intervall um , in dem ein Stichprobenergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von liegt, heißt Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau .

Beispiel

Die Schuhgröße von deutschen Frauen ist normalverteilt mit Erwartungswert . Ein Hersteller möchte nun für aller Frauen Schuhe anbieten können. Die angebotenen Schuhgrößen befinden sich dann alle innerhalb des Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau um die Schuhgröße herum.

Die 68-95,5-99,7-Regel

Ist die Zufallsvariable normalverteilt oder unter Erfüllung der Laplace-Bedingung binomialverteilt mit Erwartungswert und Standardabweichung , so gilt die -Regel, das heißt

  • Konfidenzintervalle zu anderen Konfidenzniveaus müssen berechnet werden.

Beispiel

Felix besitzt eine Chocolaterie und verkauft pro Tag durchschnittlich Pralinen. Die Standardabweichung beträgt Stück.
Das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau entspricht .
Das heißt, die Anzahl der verkauften Pralinen an einem Tag liegt zu zwischen 660 Pralinen und 940 Pralinen.

Merksatz

Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert und Standardabweichung . Dann ist das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau gegeben durch

Dabei wird gerade so gewählt, dass gilt:
In der konkreten Rechnung muss also die Tabelle "rückwärts"gelesen bzw. der passende Wert für die -Funktion gefunden werden.

Rezept: Konfidenzintervall bestimmen

Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit , . Gesucht ist das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau .

  • Schritt 1: Man berechnet zunächst
  • Schritt 2: Dann ermittelt man in der Normalverteilungstabelle den zugehörigen -Wert. Man liest ab:
  • Schritt 3: Das gesuchte Intervall ist dann gegeben durch

Somit liegen aller Werte der Zufallsvariable im Intervall .

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Der Intelligenzquotient (IQ) deutscher Erwachsener ist normalverteilt mit Erwartungswert und Standardabweichung . In welchem Intervall um befinden sich die Intelligenzquotienten von

  1. aller deutscher Erwachsener?
  2. aller deutscher Erwachsener?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Das gesuchte Intervall entspricht der 3-Sigma-Umgebung. Dementsprechend gilt für das Intervall:
    Etwa aller Deutschen haben einen IQ zwischen 55 und 145.
  2. Gesucht ist mit
    Ein Blick in die Tabelle verrät: . Somit ist das Intervall
    Etwa aller Deutschen haben einen IQ zwischen 61,3 und 138,7.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018