cross

Häufigkeit / Wahrscheinlichkeit mit Konfidenzintervall schätzen

Häufigkeit / Wahrscheinlichkeit mit Konfidenzintervall schätzen

Rezept --- Häufigkeit mit Konfidenzintervall schätzen

Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsvariable mit genau günstigen Ereignissen bei Versuchen. Schätze die Trefferwahrscheinlichkeit von und gib ein Konfidenzintervall für zum Niveau an.

  • Schritt 1: Zunächst wird die Trefferwahrscheinlichkeit geschätzt (Schätzwert wird genannt). Die beste Schätzung ist
  • Schritt 2: Der Erwartungswert von wird als angenommen.
  • Schritt 3: Nun lässt sich die Standardabweichung von gemäß folgender Formel bestimmen
    Wegen lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.
  • Schritt 4: Gesucht ist also mit
  • Schritt 5: Ablesen in der Tabelle liefert
  • Schritt 6: Nun kann das Konfidenzintervall berechnet werden. Beachte, dass man den Erwartungswert als annimmt.
  • Schritt 7: Teilt man diese Werte durch bekommt man das Konfidenzintervall für :
    Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt mit -iger Sicherheit zwischen und .

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

In einer Umfrage unter Personen zwischen 20 und 30 Jahren in Deutschland gaben der Befragten an, Nichtraucher zu sein. Berechne zum Konfidenzniveau das Konfidenzintervall und interpretiere diese Zahlen.

Lösung zu Aufgabe 1

Bei gegebenem und erwarteter Wahrscheinlichkeit ist davon auszugehen, dass die Laplace-Bedingung gilt. Wir können also wie mit einer normalverteilten Zufallsvariable rechnen. Es gelten:

Da nach dem Konfidenzniveau gefragt war, muss hier wieder gerechnet werden:
Für den Erwartungswert gilt:
Somit gilt für das Konfidenzintervall
Nun müssen diese Werte noch durch geteilt werden. Es gilt:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von liegt der Anteil der Nichtraucher zwischen 20 und 30 Jahren in Deutschland zwischen und .

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: ***

Punker Kalle möchte gerne wissen wie viele Mercedes es in Hannover-Nordstadt gibt. Daher läuft er montags quer durch Nordstadt und bricht bei 100 Mercedes den Stern ab.
Am Samstag läuft er nochmal quer durch Nordstadt und zählt die Mercedes, denen der Stern fehlt. Von 120 Mercedes, die er zählt, sind 17 ohne Stern.
Kalle möchte einen Bereich angeben für die Anzahl der Mercedes in Hannover-Nordstadt angeben, der mit einer -igen Sicherheit die wahre Anzahl widerspiegelt.
Welchen Bereich wird er angeben?

Lösung zu Aufgabe 2

Zunächst betrachtet man nur den zweiten Teil der Aufgabe. Dort beträgt die Stichprobengröße und die geschätzte Trefferwahrscheinlichkeit . Als Standardabweichung ergibt sich:

Wegen ist die Laplace-Bedingung erfüllt und man kann mit der Normalverteilung rechnen. Als nächstes sucht man mit
Dies führt zu . Also liegt die Anzahl der beschädigten Mercedes im Intervall:
Nach Division durch erhalten wir das Konfidenzintervall für die Trefferwahrscheinlichkeit :
Bezeichne nun die Gesamtzahl an Mercedes in Hannover. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mercedes keinen Stern mehr hat, beträgt . Da der Größenbereich von bekannt ist folgt:
Mit -iger Wahrscheinlichkeit gibt es zwischen 556 und 1000 Mercedes in Hannover-Nordstadt.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018