cross

Binomialkoeffizient und kombinatorische Abzählverfahren (Kombinatorik)

Binomialkoeffizient und kombinatorische Abzählverfahren (Kombinatorik)

Einleitung

Häufig ergibt sich die Fragestellung, wie viele Gesamtmöglichkeiten es zu einer bestimmten Ausgangslage gibt. Hierzu gibt es je nach Zufallsversuch bestimmte kombinatorische Abzählverfahren, die einfache Antworten liefern. Teilweise kann man diese auch benutzen, um Laplace-Wahrscheinlichkeiten auszurechnen.

Kombinatorische Produktregel

Wenn ein Zufallsversuch in mehreren Stufen durchgeführt wird und die Anzahl der möglichen Ausgänge von Stufe zu Stufe unterschiedlich ist gilt für die Anzahl der möglichen Ergebnisse des Zufallsversuches:

Beispiel

Ein Kleidungshersteller bietet T-Shirts in fünf verschiedenen Farben, vier verschiedenen Größen und mit sieben unterschiedlichen Aufdrucken an. Wie viele unterschiedliche T-Shirts gibt es?

Es gibt also 140 verschiedene Varianten des T-Shirts.

Geordnete Stichproben

Für den Fall, dass die Stufen eines Zufallsexperimentes in gleicher Weise ablaufen, entstehen zwei wichtige Unterarten der kombinatorischen Produktregel. Den ersten Fall kann man sich an einer Urne verdeutlichen, aus der mit Zurücklegen gezogen wird. Dann ergibt sich für die Anzahl der Möglichkeiten:
Der zweite Fall entspricht einer Urne, aus der ohne Zurücklegen gezogen wird. Dann gilt:
Bei beiden Fällen ist die Reihenfolge zu beachten.

Beispiel

Der Pincode einer Kreditkarte besteht aus vier Ziffern von jeweils bis . Wie viele unterschiedliche Pincodes gibt es?

Es gibt also 10000 verschiedene Pincodes.

Beispiel

Beim olympischen Hundertmeterlauf starten im Finale neun Teilnehmer. Wie viele unterschiedliche Besetzungen des Siegertreppchens gibt es?

Es gibt also 504 unterschiedliche Besetzungen des Siegertreppchens.

Die Fakultät

Wenn im zweiten Fall alle Kugeln aus der Urne gezogen werden ergibt sich für die Anzahl der Möglichkeiten :

Man definiert hierüber den Begriff der Fakultät:

Ungeordnete Stichproben und Binomialkoeffizient

Es gilt nicht immer, dass die Reihenfolge der Ergebnisse der einzelnen Stufen von Bedeutung ist. Wenn man die Reihenfolge nicht beachtet, gibt es nur für das Modell einer Urne, aus der ohne Zurücklegen unterscheidbare Kugeln gezogen werden, eine einfache kombinatorische Abzählregel. Hier muss zusätzlich zur im vorigen Abschnitt kennengelernten Ziehung unter Berücksichtigung der Reihenfolge noch durch die Anzahl der ununterscheidbaren Ergebnisse des Zufallsversuch geteilt werden. Es ergibt sich für die Anzahl der Möglichkeiten bei Kugeln und -maligem Ziehen:

Hierüber wird der Binomialkoeffizient \enquote{ über } definiert:
Dies entspricht gerade der Anzahl der Möglichkeiten genau Objekte aus einer Menge von Objekten auszuwählen. \notiz Auf dem Taschenrechner berechnet man den Binomialkoeffizenten in der Regel mit dem Befehl \texttt{nCr}.

Beispiel

Aufgrund einer Gutscheinaktion hat eine Person die Möglichkeit zusammen mit zwei Freunden kostenlos ins Kino zu gehen. Vier Freunde der Person würden gerne mitkommen. Es soll berechnet werden wie viele Möglichkeiten es gibt zwei aus den vier Freunden auszuwählen. Der Binomialkoeffizient hat den Wert

Die Anzahl der Möglichkeiten aus Objekten auszuwählen ist also . Es gibt somit 6 verschiedene Möglichkeiten die Freunde für den kostenlosen Kinobesuch auszuwählen.

Rechenregeln für den Binomialkoeffizienten

Es gelten:

Beispiel

Der Wert des Binomialkoeffizienten lässt sich mit obigen Regeln wie folgt ohne Taschenrechner bestimmen:

Aufgabe 1

  1. In einer Stadt in Deutschland hat jede Telefonnummer ohne Vorwahl sechs Stellen. Sie darf nicht mit einer Null anfangen. Wie viele verschiedene Telefonnummern kann die Stadt vergeben?
  2. In einer Buchstabensuppe schwimmt noch genau einmal das Alphabet. Wie wahrscheinlich ist es, dass bei den nächsten vier Nudeln der Name NORA entsteht?
  3. Ein Passwort eines Computers besteht aus fünf Ziffern. Wie viele unterschiedliche Passwörter gibt es?
  4. In einer Talkshow stehen sieben Stühle nebeneinander. Der Showmaster sitzt in der Mitte und möchte neben seinem berühmtesten Gast sitzen. Wieviele Sitzplatzkombinationen gibt es?
  5. In derselben Show werden zwei Gäste zufällig für ein Spiel ausgewählt. Wie viele mögliche Spielpaarungen gibt es?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Es gibt mögliche Telefonnummern.
  2. Es gibt Möglichkeiten für die nächsten vier Buchstaben. Die Wahrscheinlichkeit , dass der Name NORA erscheint beträgt also:
  3. Es gibt unterschiedliche Passwörter.
  4. Da der Showmaster in der Mitte sitzt, bleiben noch sechs Stühle frei. Für den berühmtesten Gast kommen zwei Stühle in Frage, für den nächsten Gast noch fünf, für den übernächsten noch vier und so weiter. Also:
  5. Es gibt mögliche Spielpaarungen.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Einige Komponisten des letzten Jahrhunderts haben mit der sogenannten Zwölftonmethode komponiert. Das Grundprinzip besagt, dass jeder der zwölf Töne einer Oktave erst dann wieder erklingen darf, wenn die anderen erklungen sind. Daher wurde stets eine Reihe aus zwölf Tönen gebildet, die als Grundgerüst für die Komposition genommen wurde.

  1. Wie viele verschiedene Zwölftonreihen gibt es?
  2. Ein Komponist hat bereits sieben Töne der Reihe geschrieben und möchte jetzt einen Dreiklang schreiben, das heißt drei der verbleibenden Töne sollen gleichzeitig erklingen. Wie viele Möglichkeiten hat er drei Töne auszuwählen?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Es gibt ! verschiedene Zwölftonreihen, da der erste Ton einer von zwölf sein kann, der zweite dann noch einer der übrigen elf usw.
  2. Da er schon sieben Töne verwendet hat bleiben ihm Töne für den Dreiklang. Für die Anzahl der Möglichkeiten des Dreiklangs gilt dann:

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018