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Umfangreiche Stochastik-Aufgaben zur Abiturvorbereitung

Umfangreiche Stochastik-Aufgaben zur Abiturvorbereitung

Aufgabe 1

In einem Güterbahnhof werden auf wöchentlicher Basis Container verladen. Unter den 15 Containern gibt es drei weiße, fünf rote und sieben violette Container. Alle Container werden hintereinander an einen Güterzug gekoppelt und können nur anhand der Farbe unterschieden werden.

  1. Wie viele Möglichkeiten gibt es die Container anzukoppeln?
  2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die fünf roten Container direkt aneinander gekoppelt werden sollen?
  3. Wie häufig müssen die Container verladen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens einmal ein roter Container auf den letzten Waggon des Zuges geladen wird?

Eine LKW-Spedition fährt diese und weitere Container zu ihren endgültigen Bestimmungsorten. Die roten Container sind allesamt von einem großen deutschen Discounter, welcher seine Waren ausschließlich mit dieser Spedition verschickt. Sie werden mit haltbaren Lebensmitteln oder Non-food-Ware befüllt. Erfahrungsgemäß sind aller Container mit Non-food-Artikeln bestückt. An einem Tag werden von dieser Spedition 10 LKW von der Polizei überprüft. Hierbei ist nicht ausgeschlossen, dass ein LKW mehrfach überprüft wird.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten LKW genau 3 mit Non-food-Artikeln bestückt sind.
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter den kontrollierten LKW mindestens 3 mit Non-food-Artikeln bestückt sind.

Von den belieferten Discountern sind mit der Pünktlichkeit des Fahrers unzufrieden. Das Qualitäts-Management des Spediteurs vermutet allerdings, dass durch interne Umstrukturierung die Fahrer im vergangenen Quartal pünktlicher waren. Falls dies nicht der Fall sein sollte, müssen weitere Fahrer eingestellt werden. Insgesamt sollen 200 Discounter mittels einer Telefonaktion befragt werden. Aufgrund der stichprobenartigen Befragung fordert das Qualitäts-Management ein Signifikanzniveau von zur Nullhypothese .

f) Bestimme den Annahme- und Ablehnungsbereich der gegebenen Nullhypothese.

g) Erkläre die Bedeutung des Fehlers 1. Art im Sachzusammenhang.

Von den belieferten Discountern sind mit der Freundlichkeit des Fahrers unzufrieden. Weitere sind zwar mit der Freundlichkeit des Fahrers zufrieden, jedoch nicht mit seiner Pünktlichkeit.
Gegeben sind die beiden Ereignisse:

  • : Ein zufällig ausgewählter Discounter ist mit der Pünktlichkeit des Fahrers zufrieden.
  • : Ein zufällig ausgewählter Discounter ist mit der Freundlichkeit des Fahrers zufrieden.

h) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis . Gehe dabei von der Unabhängigkeit der Ereignisse und aus.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Es gibt Möglichkeiten um 15 verschiedene Container aneinander zu koppeln. Allerdings können die Container nur anhand ihrer Farbe unterschieden werden, weshalb das Vertauschen gleichfarbiger Container untereinander keine verschiedenen Möglichkeiten darstellt. Für die Reihenfolge der weißen Waggons gibt es Möglichkeiten, für die der roten und für die der sieben violetten gibt es Möglichkeiten. Damit sind dann
    unterschiedliche Containerreihenfolgen nach dem Zusammenkoppeln möglich.
  2. Wenn die fünf roten Container direkt aneinander gekoppelt werden, dann kann man diese insgesamt als einen großen Container betrachten. Nach dem Zusammenkoppeln wären also
    unterschiedliche Containerreihenfolgen möglich, wenn die fünf roten Container zusammengekoppelt sein sollen.
  3. Da fünf der 15 Container rot sind, gilt
    und für das Gegenereignis
    Außerdem gilt
    Damit lässt sich nun berechnen:
    Also ist ab dem 7. Zusammenkoppeln der Container die Wahrscheinlichkeit größer als , dass dabei mindestens einmal eine Reihenfolge entstanden ist, bei der ein roter Container am Ende des Zuges war.
  4. Da die Bestückungen der Container unabhängig voneinander sind, lässt sich das Modell der Binomialverteilungen nutzen. Mit und und als Anzahl der Container mit Non-food-Artikeln gilt dann
    Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 10 kontrollierten LKW genau drei mit Non-food-Artikeln sind, beträgt etwa .
  5. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen 10 LKW mindestens drei mit Non-food-Artikeln sind, wird über das Gegenereignis berechnet, in dem von die Wahrscheinlichkeit dafür abgezogen wird, dass kein, genau ein oder genau zwei Container mit Non-food-Artikel unter den kontrollierten sind. Es gilt
    Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 10 kontrollierten mindestens drei LKW mit Non-food-Artikeln sind, beträgt ungefähr .
  6. Die Nullhypothese des Qualitäts-Managements lautet laut Aufgabenstellung:
    Es handelt sich also um einen linksseitigen Hypothesentest. Folgende Bezeichnung wird eingeführt:
    Die Variable bezeichnet also die Wahrscheinlichkeit, dass von den 200 befragten Discountern bei einer Wahrscheinlichkeit von für Unpünktlichkeit genau mit der Pünktlichkeit des Fahrers unzufrieden sind. Gesucht ist nun also die kleinste natürliche Zahl , so dass gilt:
    Es gelten:
    und
    Somit lautet der Annahmebereich der Hypothese: Wenn mindestens 18 Discounter mit der Pünktlichkeit der Spedition unzufrieden sind, müssen weitere Fahrer eingestellt werden.
  7. Ein Fehler erster Art bedeutet Ablehnen der Hypothese, obwohl diese richtig ist. Hier beschreibt der Fehler erster Art also die Konstellation, dass das Qualitäts-Management aufgrund der Discounter-Befragung annimmt, dass die Fahrer pünktlicher sind als früher, obwohl dies nicht der Fall ist.
  8. Gegeben sind
    für die beiden stochastisch unabhängigen Ereignisse : Pünktlichkeit und : Freundlichkeit. Diese Werte werden in eine Vierfeldertafel eingetragen:
    Es folgt:
    Die ermittelten Werte ergänzt man in der Vierfeldertafel:
    Da die Ereignisse und stochastisch unabhängig voneinander sind, gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass ein ausgewählter Discounter mit der Pünktlichkeit der Fahrer zufrieden ist, beträgt also . Darüber hinaus kann man die Vierfeldertafel nun leicht vervollständigen, da Spalten und Zeilen sich jeweils aufsummieren:

Aufgabe 2

Die Pfadfinder der Lustigen Strolche fahren dieses Jahr ins Zeltlager nach Tirol. Insgesamt nehmen 28 Jungen und 18 Mädchen an der Freizeit teil. Im Zeltlager gibt es für die Mädchen jeweils ein 6er Zelt, ein 5er Zelt, ein 4er Zelt und ein 3er-Zelt.

  1. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Mädchen in den Zelten zu verteilen? Das Highlight der Reise ist es an einem nahe gelegenen Fluss zu raften. Die Teilnehmer haben sich gut dafür vorbereitet, denn vor dem Raften muss noch eine Prüfung für den "Raftingschein"abgelegt werden. Hierfür muss ein Multiple-Choice-Test bestanden werden, welcher aus insgesamt 20 Fragen besteht. Zu jeder Frage gibt es dabei 3 Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Alexander hatte leider keine Zeit sich auf den Test vorzubereiten. Deshalb wählt er bei jeder Frage zufällig eine Antwort aus.
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Alexander den "Raftingschein" erhalten kann, wenn es zum Bestehen des Test genügt, die Hälfte der Fragen korrekt zu beantworten.
  3. Wie viele Antwortmöglichkeiten müsste es pro Frage geben, damit die Wahrscheinlichkeit für das Bestehen des Tests durch bloßes Raten der Antwort kleiner als ist?

Die Rafting-Guides haben die Erfahrung gemacht, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen während einer Tour über Bord geht bei liegt, und dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge über Bord geht, lediglich bei liegt. Alle Teilnehmer des Zeltlagers sind bei der Rafting-Tour dabei.

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht genau drei mal ein Mädchen über Bord?
  2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Teilnehmer über Bord geht?
  3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Teilnehmer über Bord gehen?

Die Teilnehmer des Zeltlagers werden für die Rafting-Tour in zwei Gruppen zu je 23 Personen aufgeteilt. Die Aufteilung erfolgt zufällig. Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Gruppe aus 10 Mädchen und 13 Jungen besteht, wird mit bezeichnet.

g) Begründe, warum nicht durch den Term

beschrieben werden kann.

h) Gib eine korrekte Beschreibung des Terms an.

Die Rafting-Touren werden auch über ein Erlebnisportal angeboten. Die Koordinatoren haben die Vermutung, dass bei ihren Kunden der Anteil derjenigen, die sonst gar keinen Sport treiben unter liegt. Diese Vermutung stellt die Alternativhypothese dar. Die Nullhypothese, gegeben durch , soll nun anhand eines Fragebogens überprüft werden. Hierzu werden Fragebögen an die nächsten 300 Kunden verschickt, die dieses Erlebnis buchen. Die Hypothese soll mit einem Signifikanzniveau von getestet werden.

i) Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

Bei Buchung der Rafting-Tour über das Erlebnisportal gibt es zwei verschiedene Schwierigkeitsgrade. Eine über Jahre hinweg erstellte Statistik zeigt, dass lediglich der Kunden, die diese Tour buchen, weiblich sind. Von den männlichen Kunden entscheiden sich für die schwierige Tour. Außerdem sind der Kunden weiblich und entscheiden sich für die leichte Tour.

j) Untersuche, ob die Entscheidung für die schwierige Tour abhängig vom Geschlecht des Teilnehmers ist.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Es gibt Möglichkeiten, die 18 Mädchen auf die insgesamt 18 Betten zu verteilen. Allerdings spielt die Verteilung innerhalb der einzelnen Zelte keine Rolle, weshalb noch durch , , und dividiert werden muss. Es gilt:
    Alternativ kann man die Anzahl der Möglichkeiten, zunächst 6 Mädchen für das 6er Zelt auszuwählen, mit der Anzahl der Möglichkeiten, danach 5 Mädchen aus den verbleibenden 12 für das 5er Zelt auszusuchen, usw. miteinander multiplizieren:
    Es gibt also 514.594.080 Möglichkeiten die 18 Mädchen auf die Zelte zu verteilen.
  2. Es gibt Fragen. Da es auf jede Frage drei Antwortmöglichkeiten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit zufällig die richtige Antwort auszuwählen ein Drittel. Die Auswahl der Antworten auf die einzelnen Fragen ist voneinander unabhängig. Es handelt sich damit um eine Bernoulli-Kette und es kann das Modell der Binomialverteilung verwendet werden. Bezeichne die Anzahl der korrekten Antworten, dann gilt:
    Alexander besteht die Prüfung mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa , wenn er die Antworten zufällig auswählt.
  3. Werden 4 Antwortmöglichkeiten für jede Frage vorgegeben, dann sinkt die Wahrscheinlichkeit, bei einer einzelnen Frage zufällig die richtige Antwort auszuwählen, auf . Die Wahrscheinlichkeit die Prüfung bei zufälliger Auswahl der Antworten zu bestehen, beträgt dann
    Gibt es also 4 Antwortmöglichkeiten pro Frage, dann ist die Wahrscheinlichkeit durch zufälliges Auswählen der Antworten die Prüfung zu bestehen mit kleiner als .
  4. Bezeichne die Anzahl der Mädchen, die bei der Tour über Bord gegangen sind. Wenn ein Mädchen mit einer Wahrscheinlichkeit von über Bord geht, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass von den 18 Mädchen genau drei mal eines über Bord geht:
    Mit einer Wahrscheinlichkeit von geht genau 3 mal ein Mädchen über Bord.
  5. Bezeichne die Anzahl der über Bord gegangenen Teilnehmer. Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Teilnehmer über Bord geht, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten, dass keines der Mädchen und keiner der Jungen über Bord geht. Es gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Teilnehmer über Bord geht, beträgt nur .
  6. Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Teilnehmer über Bord gehen, ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten, dass
    • kein Teilnehmer
    • ein oder zwei Mädchen und kein Junge
    • ein oder zwei Jungen und kein Mädchen
    • genau ein Junge und genau ein Mädchen
      über Bord gehen. Damit gilt:
      Mit einer Wahrscheinlichkeit von gehen maximal zwei Teilnehmer über Bord.
  7. Der angegebene Term entspricht der Wahrscheinlichkeitsberechnung für einen Bernoulli-Versuch. Die Voraussetzungen hierfür sind
  • Jeder Versuch hat zwei Ausgänge (Treffer / Niete)
  • In jedem Versuch ist die Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu landen gleich groß.

    Die zweite Eigenschaft ist hier nicht erfüllt, denn bei jeder Zuweisung eines Teilnehmers zu einer Gruppe verändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Die Einteilung der Gruppe ist ähnlich zu dem Versuch: Ziehen ohne Zurücklegen. Das Modell der Bernoulli-Kette ist allerdings nur anwendbar bei dem Versuch: Ziehen mit Zurücklegen.

h) Es handelt sich hier um ein Ziehen ohne Zurücklegen. In der Pfadfindergruppe sind 18 Mädchen und 28 Jungen. Es werden nacheinander 23 Teilnehmer "ohne Zurücklegen"ausgesucht. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgesuchten Teilnehmern genau 10 Mädchen sind, beträgt

Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei knapp

i) Es soll die Entscheidungsregel für einen Hypothesentest bestimmt werden. Gegeben ist

Sei die Anzahl der Teilnehmer, die sonst gar keinen Sport treiben. Dann muss gelten
Mit Hilfe des Taschenrechners wird folgende Tabelle aufgestellt:
Der Wert ist der kleinste Wert . Daraus folgt
Die Entscheidungsregel lautet also: Antworten 48 oder weniger der befragten 300 Kunden, dass sie sonst gar keinen Sport treiben, wird die Nullhypothese verworfen. In diesem Fall können die Veranstalter also davon ausgehen, dass ihre Vermutung richtig war und insgesamt weniger als der Kunden sonst keinen Sport treiben.

j) Die beiden Ereignisse : weiblicher Kunde und : Wahl der schwierigen Tour sollen auf Unabhängigkeit untersucht werden. Es gilt

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kundin die schwierige Tour wählt, beträgt also nur . Laut Aufgabenstellung ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein männlicher Kunde die schwierige Tour wählt mit deutlich höher. Die Entscheidung für die schwierige Tour hängt also tatsächlich vom Geschlecht ab.

Aufgabe 3

Das Unternehmen hat ein neues Spiel entwickelt. Benötigt wird hierfür ein Glücksrad mit 5 gleich großen Sektoren, welche mit den Ziffern von 1 bis 5 beschriftet sind und ein handelsüblicher Würfel. Ein Spielzug bei dem Spiel "Caliente quatro" besteht aus Drehen des Glücksrades und anschließendem Werfen des Würfels. Näher betrachtet werden die Ereignisse:

  • : Der Zeiger des Glücksrades bleibt auf dem Feld mit der Zahl 4 stehen,
  • : Der Würfel zeigt die Zahl 4 als Augenzahl.
  1. Beschreibe folgende Ereignisse mithilfe der Mengenlehre und den Ereignissen und :
  • : Weder das Glücksrad noch der Würfel zeigen die Zahl 4
  • : Der Zeiger des Glücksrads bleibt entweder auf der Zahl 4 stehen oder der Würfel zeigt die Zahl 4 an.

Ein Spieler erhält genau dann einen Gewinn, wenn die Summe der erzielten Zahlen beim Spiel "Caliente quatro" exakt 4 beträgt.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler beim Spiel "Caliente quatro" einen Gewinn erzielt.
  2. Für eine Demonstration in einer Messehalle wurden 15 Gewinne eingeplant. Pro Minute kann eine Person an dem Spiel teilnehmen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die 15 Gewinne ausreichen, um die Messeteilnehmer ohne Unterbrechung eine Stunde lang spielen zu lassen.
  3. Wie viele Kandidaten müssen mindestens an dem Spiel teilnehmen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Spieler einen Gewinn erhält, mindestens beträgt?

Ein Spieler, welcher das Spiel "Caliente quatro" durch Drehen einer 2 am Glücksrad und anschließendem Wurf einer 2 gewonnen hat, bekommt zusätzlich noch ein Rubbellos geschenkt. Das Rubbellos hat insgesamt 9 Felder. Hierbei gibt es jeweils zwei Felder mit den Beträgen 0 €, 50 €, 150 € und 250 € und ein Feld mit 300 €. Ein beispielhaftes Rubbellos ist hier abgebildet:

Zwei Felder des Loses dürfen freigerubbelt werden.

e) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kandidat ein Rubbellos gewinnt?

f) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mit einem Rubbellos ein Gewinn von mindestens 450 € erzielt wird.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg beim Spiel "Caliente quatro" soll nun auf reduziert werden. Dazu soll der Wurf mit dem Würfel beibehalten, die Größe der Felder des Glücksrades jedoch verändert werden.

g) Bestimme, wie groß die einzelnen Felder sein müssen, um diese Änderung vorzunehmen. Dabei sollen die Felder 1, 2 und 3 jeweils gleich groß sowie die Felder 4 und 5 jeweils gleich groß sein. Die Winkelsumme soll betragen.

h) Berechne für das Glücksrad aus Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Zeiger auf der Zahl 5 stehenbleibt.

i) Berechne für das Glückrad aus Teilaufgabe die Wahrscheinlichkeit ein Rubbellos zu gewinnen. Vergleiche dieses Ergebnis mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe .

Unter den Messebesuchern wird vermutet, dass der Würfel nicht fair ist. Sie glauben, dass die Zahl 2 häufiger geworfen wird als alle anderen Zahlen. Nach der ersten Stunde am Messestand wird für die nächsten 75 Würfe notiert, wie häufig die Zahl 2 gewürfelt wird. Der Betreuer des Messestandes schlägt vor, dass der Würfel ausgetauscht wird, falls die Zahl 2 häufiger als 15 mal geworfen wird.

j) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein fairer Würfel ausgetauscht wird?

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Mit den Ereignissen
  • : Der Zeiger des Glücksrades bleibt auf dem Feld mit der Zahl 4 stehen,
  • : Der Würfel zeigt die Zahl 4 als Augenzahl.

lassen sich die Ereignisse

  • : Weder das Glücksrad noch der Würfel zeigen die Zahl 4,
  • : Der Zeiger des Glücksrads bleibt entweder auf der Zahl 4 stehen oder der Würfel zeigt die Zahl 4 an.

mittels der Mengenlehre schreiben als

  1. Die Stichprobenmenge enthält alle Kombinationen aus einer der fünf Zahlen auf dem Glücksrad und einer der sechs Zahlen auf dem Würfel. Damit gibt es
    mögliche Ergebnisse. Da diese Ergebnisse alle gleich wahrscheinlich sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Günstige Ergebnisse sind diejenigen, bei denen die Summe der beiden Zahlen exakt beträgt, also:
    Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler einen Gewinn erzielt
    Bei dem Spiel "Caliente quatro" erzielt der Spieler mit einer Wahrscheinlichkeit von einen Gewinn.
  2. Wenn pro Minute ein Spieler teilnehmen kann, dann können in einer Stunde Messeteilnehmer teilnehmen. Die Stichprobenlänge beträgt also . Gesucht ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesen 60 Spielen höchstens 15 Gewinne erzielt werden. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Spiel einen Gewinn zu erzielen, wurde in der vorherigen Teilaufgabe mit ermittelt. Bezeichne die Anzahl der Gewinne, dann gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass die 15 eingeplanten Gewinne dafür ausreichen, dass 60 Messeteilnehmer eine Stunde lang spielen, beträgt .
  3. Gesucht ist die Mindestanzahl an Teilnehmern, die nötig ist, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens ein Spieler einen Gewinn erhält. Für die Berechnung wird das Gegenereignis genutzt, also dass keiner der Spieler einen Gewinn erzielt. Es gilt:
    Es müssen mindestens 29 Spiele durchgeführt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Gewinn erzielt wird, mindestens beträgt.
  4. Die Stichprobenmenge enthält wieder
    mögliche Ergebnisse, die jeweils gleich wahrscheinlich sind. Es gibt aber nur noch ein günstiges Ereignis:
    Damit gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler ein Rubbellos gewinnt
    Bei dem Spiel "Caliente quatro" erhält der Kandidat mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa ein Rubbellos.
  5. Wenn das Rubbellos 9 Felder hat, gibt es 9 Möglichkeiten für die erste frei gerubbelte Zahl und anschließend noch 8 für die zweite. Da die Reihenfolge des Freirubbelns keine Rolle spielt, beträgt die Anzahl möglicher Ergebnisse
    Es gibt insgesamt 5 Möglichkeiten mindestens 450€ zu gewinnen: entweder beide Felder mit 250€ werden frei gerubbelt oder das 300€ Feld und eines der insgesamt vier 250 € beziehungsweise 150€ Felder. Damit gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem Los ein Gewinn von mindestens 450 € freigerubbelt wird, beträgt etwa
  6. So lange alle Felder gleich groß sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede der drei günstigen Ereignisse
    und damit insgesamt
    also . Die Winkelsumme der ersten drei Felder betrug also . Nun soll die Gewinnwahrscheinlichkeit nur noch betragen. Sei der Winkel eines der ersten drei Felder. Dann gilt:
    Die Gewinnwahrscheinlichkeit für das Spiel kann auf gesenkt werden, wenn die Felder 1, 2 und 3 auf dem Glücksrad nur noch einen Winkel von haben und die beiden Felder 4 und 5 dafür jeweils einen Winkel von bekommen.
  7. Wie zuvor berechnet, deckt das Feld mit der Zahl 5 einen Winkelbereich von ab. Daher berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf der Zahl 5 stehenbleibt, zu
    also zu .
  8. Ein Rubbellos wird genau dann gewonnen, wenn der Zeiger am Glücksrad auf der 2 stehenbleibt und eine 2 gewürfelt wird. Die Ereignisse sind unabhängig voneinander, weshalb die gesuchte Wahrscheinlichkeit das Produkt der Wahrscheinlichkeiten der beiden einzelnen Ereignisse ist. Da die Felder 1, 2 und 3 alle den gleichen Winkel von haben, gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Rubbellos nach der Halbierung der Feldgröße gewonnen wird, ist mit nur noch genau halb so groß wie vor der Änderung.
  9. Es wird ein Hypothesentest durchgeführt mit
    Dann ist die Irrtumswahrscheinlichkeit , dass ein fairer Würfel ausgetauscht wird
    Die Wahrscheinlichkeit, dass ein fairer Würfel ausgetauscht wird, weil die Zahl 2 häufiger als 15 mal geworfen wurde, beträgt also .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018