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Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung



Erklärung

Bedingung für eine Approximation (Laplace-Bedingung)

Eine Binomialverteilung mit den Parametern und lässt sich durch eine Normalverteilung annähern,
falls gilt:

Approximation der Binomialverteilung (Moivre-Laplace)

Im Folgenden zeigen wir dir anhand einer beispielhaften Aufgabe, wie du mihilfe von 4 Schritten die Approximation einer Binomialverteilung durchführen kannst:

Gegeben: Binomialverteilung mit und .

Fragestellung:
Wie groß ist die ungefähre Wahrscheinlichkeit höchstens 950 Treffer zu erzielen?
  • Schritt 1: Laplace-Bedingung prüfen:
  • Schritt 2: Bestimme Erwartungswert und Standardabweichung :
  • Schritt 3: Benutze die Formel
  • Schritt 4: Setze die Werte in die Formel ein:
Die Werte der -Funktion findest Du in Tabellen.
Alternativ kannst Du auch die Funktion NormCDF des Taschenrechners verwenden.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Es bezeichne die Anzahl der Sechsen in Würfen eines fairen Würfels.

  1. Überprüfe die Laplace-Bedingung.
  2. Berechne
  3. Berechne
  4. Berechne

Lösung zu Aufgabe 1

Man stellt zunächst fest:

  1. Es gilt:
    Also ist die Laplace-Bedingung erfüllt.
  2. Es gilt:
  3. Es gilt:
  4. Diese Aufgabe lässt sich leicht mit den vorherigen Ergebnissen lösen. Es gilt:

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Auf einer Kirmes steht ein Glücksrad mit 20 gleichgroßen Feldern.
Die Felder sind mit bis durchnummeriert.
Innerhalb eines Jahrzehnts wird das Glücksrad Mal gedreht.
Bezeichne wie oft dabei das Glücksrad auf der Zahl stehengeblieben ist.

  1. Überprüfe die Laplace-Bedingung.
  2. Berechne
  3. Berechne
  4. Berechne

Lösung zu Aufgabe 2

Der Wert ist in Wirklichkeit binomialverteilt mit und .
Aufgrund der hohen Stichprobenlänge versucht man durch eine Normalverteilung zu approximieren.
Man stellt zunächst fest:

  1. Es gilt:
    Also ist die Laplace-Bedingung erfüllt.
  2. Es gilt:
  3. Diese Aufgabe lässt sich leicht mit den vorherigen Ergebnissen lösen. Es gilt:
  4. Es gilt
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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 14:31:47 Uhr