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Normalverteilung

Normalverteilung

Merksatz

Viele in der Natur auftretende Zufallsgrößen (Messfehler, Körpergröße, IQ) sind normalverteilt. Die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariable mit Erwartungswert und Standardabweichung ist gegeben durch

Alle Fragestellungen lassen sich stets auf die Standardnormalverteilung (d. h. und ) zurückführen. Die Dichtefunktion bildet eine Glockenkurve deren Maximum beim Erwartungswert liegt und deren Breite mit der Standardabweichung wächst.
Die Wahrscheinlichkeit ist gerade die Fläche unter zwischen und :
Da sich nicht einfach aufleiten lässt, arbeitet man oft mit der Funktion . Diese gibt die Fläche unter der Glockenkurve der Standardnormalverteilung zwischen und an. Es gilt:
\notiz Die -Funktion ist auf einem GTR/CAS oft unter dem Namen NormCDF zu finden.

Beispiel

Sei eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Es soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass zwischen und liegt. Dann gilt:

Zurückführung auf die Standardnormalverteilung

Sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert und Standardabweichung . Dann gilt:

Beispiel

Sei normalverteilt mit und . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 20 und 25 liegt. Es folgt

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Beschreibe die Körpergröße eines zufällig ausgewählten 18-jährigen Mannes. Aufgrund von statistischen Erhebungen ist bekannt, dass in etwa normalverteilt mit und ist.

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Mann größer als ? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er kleiner als ?
  2. Wie viel Prozent aller 18-jährigen sind größer als groß?
  3. Wie groß muss ein 18-jähriger sein, damit nur aller Männer kleiner als er sind.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Wegen und folgt
    Somit ist also die Hälfte aller 18-jährigen Männer größer als . Weiter gilt
    Also sind etwa aller Männer kleiner als .
  2. Hierzu rechnet man wie folgt:
    Also sind nur knapp aller Männer größer als .
  3. Beschreibe die gesuchte Größe. Dann gilt
    Diese Gleichung kann direkt mit dem GTR/CAS gelöst werden. Alternativ kann mit einer Tabelle der Standardnormalverteilung gearbeitet werden. Dazu setzt man
    Gesucht ist somit mit . Da die Tabellen oft erst bei einer Wahrscheinlichkeit von anfangen, arbeitet man mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Gesucht ist also mit
    Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt
    Somit sucht man mit . Ein Blick in die Tabelle verrät . Nun rechnet man den Wert auf zurück:
    Etwa aller 18-jährigen sind kleiner als .

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **-***

Ein Mathelehrer prüft die Schnellrechenfähigkeit seiner Schüler indem er eine langes Aufgabenblatt mit vielen (aber einfachen) Rechenaufgaben austeilt. Dabei wird die Zeit gemessen, die ein Schüler zur Bearbeitung benötigt. Die Bearbeitungszeit kann als normalverteilt angenommen werden. Im Durchschnitt benötigt ein Schüler 60 Minuten zur vollständigen Bearbeitung. Ein Zehntel aller Schüler benötigt mehr als 90 Minuten.

  1. Berechne die Standardabweichung der Zufallsvariable .
  2. Der Lehrer möchte gerne die Noten 1, 2, 3 und 4 verteilen. Dies soll so geschehen, dass je ein Viertel aller Schüler die gleiche Note haben. Für welche Bearbeitungszeit gibt es welche Note?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Aus der Aufgabe liest man heraus, dass Minuten ist. Sei die noch unbekannte Standardabweichung. Es gilt folgende Gleichung
    Nun lässt sich folgende Gleichung für aufstellen.
    Ein Blick in die Tabelle verrät
    Die Standardabweichung beträgt also Minuten.
  2. Es sind also Zeitpunkte gesucht, so dass gilt
    Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung gilt . Kennt man , so lässt sich damit auch bestimmen. Es gilt
    Aus der Tabelle erfährt man, dass gilt. Damit folgt
    Aufgrund der Symmetrie lässt sich damit auch berechnen, denn hat denselben Abstand vom Erwartungswert wie . Es folgt . Alle Schüler, die den Test in weniger als 44 Minuten schaffen, bekommen eine 1. Alle die für den Test zwischen 45 und 60 Minuten benötigen, bekommen eine 2. Die Schüler die mehr als 60 aber weniger als 76 Minuten benötigen, bekommen eine 3. Alle anderen bekommen eine 4.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018