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Poisson-Verteilung

Poisson-Verteilung

Poisson-Verteilung

Sei ein Zeitabschnitt und die mittlere Häufigkeit, in der ein bestimmtes (zeitunabhängiges) Ereignis in einem Zeitabschnitt der Länge eintritt.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung , die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass dieses Ereignis in einem Zeitabschnitt der Länge genau -mal auftritt nennt man Poissonverteilung. Es gilt:

Der Zeitabschnitt kann je nach Aufgabenstellung beliebig skaliert werden. Entsprechend skaliert sich der Parameter .

Beispiel

In einem Kraftwerk mit 5 Turbinen fällt jede Turbine durchschnittlich 36 Mal pro Jahr aus. Es soll berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass innerhalb eines Monats gleich alle 5 Turbinen ausfallen. Zunächst wird das entsprechend skaliert: 36 Ausfälle pro Jahr entsprechen Ausfällen pro Monat. Also gilt , wenn man auf der Basis von Monaten rechnet. Gesucht ist . Es gilt:

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit ca. , dass alle Turbinen in einem Monat ausfallen.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: ***

In einer Stadt mit Einwohnern gibt es pro Jahr ca. Notarzteinsätze. Ein Notarzteinsatz dauert mit Vor-und Nachbearbeitung ca. 2 Stunden. Wie viele Notärzte müssen mindestens in Bereitschaft stehen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Notruf ein Notarzt verfügbar ist, nicht unter sinkt?

Man darf hier davon ausgehen, dass die Einsätze unabhängig von Tages-und Jahreszeit auftreten.

Lösung zu Aufgabe 1

Da nach der Wahrscheinlichkeit gefragt ist, wie oft ein spezielles Ereigniss (hier: Notarzteinsatz) in einem Zeitintervall eintritt, lässt sich hier die Poissonverteilung anwenden. Zunächst wird die Situation auf das Zeitintervall von 2 Stunden skaliert. Ein Jahr hat Stunden. Somit teilt sich ein Jahr in 4380 Blöcke von jeweils 2 Stunden. Damit lässt sich wie folgt berechnen:

Gibt es Notärzte in der Stadt, so ist bei einem Notruf ein Arzt verfügbar, falls es im Moment weniger als Einsätze gibt. Die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als Einsätze gibt ist gegeben durch
Da man mit relativ kleinen Zahlen arbeitet, kann man die Werte für schrittweise berechnen, bis man die gewünschte Lösung erhält:
Somit sind mindestens 4 Notärzte in Bereitschaft erforderlich, um einen Notruf zu bedienen zu können.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: ***

Das große Restaurant Sonnenstern verzeichnet im Jahr Besucher, die als Pärchen zwischen 18 und 24 Uhr das Lokal besuchen. Ein Besuch dauert ungefähr 1,5 Stunden. Wie viele Zweier-Tische müssen mindestens zur Verfügung stehen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Pärchen, das zum Essen vorbeikommt, ein Zweier-Tisch zur Verfügung steht, nicht unter sinkt?

Man darf hier davon ausgehen, dass die Paare unabhängig von der Zeit zwischen 18 und 24 Uhr vorbei kommen.

Lösung zu Aufgabe 1

Da nach der Wahrscheinlichkeit gefragt ist, wie oft ein spezielles Ereigniss (hier: lokalbesuchendes Pärchen) in einem Zeitintervall eintritt, lässt sich hier die Poissonverteilung anwenden. Zunächst wird die Situation auf das Zeitintervall von 1,5 Stunden skaliert. Ein Jahr hat Stunden, in denen die Paare zum Essen in das lokal kommen. Somit teilt sich ein Jahr in 1460 Blöcke von jeweils 1,5 Stunden. Auf diese 1460 Blöcke werden nun 8000 Paare verteilt. Damit lässt sich wie folgt berechnen:

Gibt es Zweier-Tische im Lokal, so ist bei der Ankunft eines Paares ein Tisch verfügbar, falls es im Moment weniger als Paare gibt, die gerade essen. Die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als Zweier-Tische besetzt sind, ist gegeben durch
Man kann die Werte für zum Beispiel schrittweise berechnen, bis man die gewünschte Lösung erhält:
Somit sind mindestens 11 Zweier-Tische erforderlich, damit ein neu ankommendes Paar mit einer Wahrscheinlichkeit von noch Platz an einem Zweier-Tisch bekommt.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018