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Wichtige Grundbegriffe

Ergebnis, Ereignis und Gegenereignis

Erklärung

Ergebnis und Ereignis

Als Stichprobenmenge bezeichnet man die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Teilmengen von werden als Ereignisse bezeichnet.
  • Oft werden Ereignisse nicht als Menge, sondern in Worten beschrieben.
  • Man schreibt für die Anzahl der Elemente in .

Um ein Ergebnis eines Zufallsexperiments besser von einem Ereignis unterscheiden zu können, schauen wir uns folgende Beispiele an:

Ein Würfel wird gewürfelt. Entsprechend der Augenzahl gibt es mögliche Ergebnisse. Die Stichprobenmenge ist somit
- gerade Augenzahl. - Augenzahl . - Augenzahl durch teilbar.

Eine Münze wird dreimal hintereinander geworfen. In diesem Fall ist ein Ergebnis eine dreifache Abfolge von Kopf () und Zahl (). Ein mögliches Ergebnis wäre beispielsweise , also zuerst Zahl und dann zweimal Kopf. Mögliche Ereignisse sind:
  • Kein nach einem .
  • mindestens 2 Mal .
  • genau 2 Mal .

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Gegenereignis

Als Gegenereignis eines Ereignisses bezeichnet man das Ereignis, welches alle Ergebnisse enthält, die nicht in enthalten sind.

Wir bestimmen die Gegenereignisse zu den vorherigen Beispielen:

Zurück zum Würfelbeispiel: Die zugehörigen Gegenereignisse zu den obigen Ereignissen sind:
  • ungerade Augenzahl.
  • Augenzahl .
  • Augenzahl nicht durch teilbar.

Zurück zum Münzwurf: Die zugehörigen Gegenereignisse zu den obigen Ereignissen sind:
  • mindestens ein folgt auf ein .
  • höchstens mal .
  • nicht mal .

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Was ändert sich bei obigem Münzwurfbeispiel, wenn man die Münzen gleichzeitig wirft? Wie sieht der Stichprobenraum aus? Welche der obigen Ereignisbeschreibungen geben immer noch Sinn, welche nicht? Gib Beispiele von Ereignissen und Gegenereignissen an.

Lösung zu Aufgabe 1

Werden die Münzen gleichzeitig geworfen, dann gehören beispielsweise und zu einem Ereignis. Der Stichprobenraum kann beispielsweise als die Anzahl der geworfenen Köpfe beschrieben werden:

Ereignisse sind beispielsweise:
  • Es wird mindestens zweimal Kopf geworfen.
  • Es wird kein Kopf geworden.

Die dazugehörigen Gegenereignisse sind:

  • Es wird höchstens einmal Kopf geworfen.
  • Es wird mindestens einmal Kopf geworfen.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

In einer Urne befinden sich fünf Kugeln. Zwei davon sind schwarz. Jeweils eine Kugel ist blau, grün bzw. weiß. Es werden gleichzeitig drei Kugeln gezogen. Gib die Stichprobenmenge an.

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

  1. Es wird nacheinander mit zwei Würfeln gewürfelt. Welche Teilmenge von entspricht dem Ereignis, eine Augensumme von zu erhalten?
  2. Bestimme das Ereignis (als Teilmenge von ), dass beim gleichzeitigen Werfen von vier Münzen mehr als zwei Mal Kopf geworfen wurde.
  3. In einem Kasten befinden sich neun Kugeln, die von bis durchnummeriert sind. Bestimme die Teilmenge von , die dem Ereignis entspricht, dass eine Primzahl gezogen wird.

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Die Augensumme wird mit folgenden Ereignissen erzeugt:

    Anmerkung: Da nacheinander gewürfelt wird, sind die Ereignisse und unterschiedlich.
  2. Die gesuchte Menge ist:

  3. . Anmerkung: ist keine Primzahl.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 11. 12. 2018