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Vereinigung und Schnitt von Ereignissen

Vereinigung und Schnitt von Ereignissen

Schnitt zweier Ereignisse

Seien und zwei Ereignisse. Die Schnittmenge bezeichnet die Menge aller Ergebnisse, die gleichzeitig sowohl in als auch in enthalten sind.

Beispiel

Zwei Würfel werden geworfen. Betrachte folgende Ereignisse:

  • : Die Augensumme ist durch 4 teilbar.
  • : Die Augensumme ist durch 6 teilbar.

Dann enthält das Ereignis genau alle Würfelergebnisse, die durch und durch teilbar sind.
Es gilt:

Somit ist

Vereinigung zweier Ereignisse

Seien und zwei Ereignisse. Die Vereinigungsmenge bezeichnet die Menge aller Ergebnisse, die in mindestens einem der beiden Ereignisse und enthalten sind.

Beispiel

Zwei Würfel werden geworfen. Betrachte folgende Ereignisse:

  • : Die Augensumme ist durch 4 teilbar.
  • : Die Augensumme ist durch 6 teilbar.

Dann enthält das Ereignis genau alle Würfelergebnisse, die durch oder durch teilbar sind. Es gilt:

Somit ist

Additionssatz oder Satz von Sylvester

Für Ereignisse und gilt

Schließen sich und gegenseitig aus (d.h. ), so gilt insbesondere

Beispiel

Es wird mit einem Würfel geworfen. Betrachtet werden die Ereignisse:

  • : Augenzahl 4.
  • : Augenzahl 2.

Die Ereignisse und schließen sich jeweils gegenseitig aus. Daher gilt

Beispiel

Eine Lostrommel enthält eine unbestimmte Anzahl Lose. Es gibt Nieten und Gewinne. Unter den Nieten und Gewinnen gibt es jeweils solche, bei denen man nochmal ziehen darf und solche, bei denen das nicht der Fall ist. Das Werbeschild gibt an, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von einen Gewinn zieht, in der Fälle nochmal neu ziehen darf und jeder Zehnte sogar nach einem Gewinn nochmal ziehen darf. Es soll die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass man beim Kauf eines Loses einen Gewinn erhält oder noch einmal ziehen darf. Man definert folgende Ereignisse:

  • : Das Los ist ein Gewinn.
  • : Das Los ist eine Niete.
  • : Man darf noch einmal ziehen.

Aus dem Werbeschild entnimmt man

Somit gilt:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Beim Lotto befinden sich 49 durchnummerierte Kugeln in der Lottotrommel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Nummer

  1. durch drei teilbar oder eine Primzahl ist?
  2. kleiner als 20 oder gerade ist?
  3. durch 7 oder durch 9 teilbar ist?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Mit
    : Durch drei teilbar,
    : Primzahl
    gilt dann:
    Damit gilt:
    Also kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmt werden:
  2. : Kleiner als 20,
    : Gerade Zahl.
    Es gilt:
  3. : Durch 7 teilbar,
    : Durch 9 teilbar.
    Es gilt:

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Ein Glücksrad hat zwölf Felder. Die Felder sind abwechselnd in der Reihenfolge (blau, gelb, rot) eingefärbt. Beginnend bei der Farbe blau sind die Felder mit 1 bis 12 durchnummeriert. Das Glücksrad wird einmal gedreht. Dabei betrachtet man folgende Ereignisse:

  • : Der Zeiger zeigt auf ein blaues Feld.
  • : Der Zeiger zeigt auf ein Feld mit einer geraden Zahl.
  1. Bestimme und .
  2. Bestimme .
  3. Bestimme .
  4. Bestimme das Gegenereignis zu und deute es im Kontext. Welche Wahrscheinlichkeit hat es?

Lösung zu Aufgabe 2


  1. Mit dieser Wahrscheinlichkeit zeigt der Zeiger auf ein Feld, das weder blau ist noch eine gerade Zahl zeigt. Das heißt ein Drittel der Felder zeigen ungerade Zahlen und sind gelb oder rot.

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *-**

Gib jeweils die Mengen der Vereinigung und des Schnitts an. Berechne die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

  1. ist das Ereignis, dass beim Ziehen aus einem Kartenspiel mit 52 Karten eine Herz-Karte gezogen wird, das Ereignis, dass aus diesem Spiel ein König gezogen wird.
  2. Beim Wurf mit zwei Würfeln ist das Wurfergebnis die kleinste aus den Ziffern zu bildende zweistellige Zahl.
    beschreibt das Ereignis, dass diese Zahl kleiner als ist, , dass sie durch drei teilbar ist.

Lösung zu Aufgabe 3


  1. Es gibt nur einen Herz-König, also ist der Schnitt
    Die Vereinigung berechnet sich mit dem Additionssatz:
  2. Zu gehören alle Paare, in denen mindestens eine oder enthalten ist:
    Zur Berechnung von ist zunächst eine Liste hilfreich. Hier wurde die Augenzahl des einen Würfels immer zuerst geschrieben, um zu erkennen, dass einige Kombinationen doppelt auftreten (z.B. ).
    Schnitt und Vereinigung ergeben sich zu

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: **

In einem Reiseführer ist zu lesen:

Die örtliche Fressmeile ist besonders zu empfehlen. Dort findet man fein säuberlich aufgereiht fünfzig Restaurants. In dreißig dieser Restaurants wird die lokale Spezialität "Verkohltes Allerlei"angeboten. Die Getränke-Spezialität "Grünkohl-Schwefel-Saft"steht in vierzig der Restaurants auf der Getränkekarte. Lediglich fünf Restaurants verwehren sich den örtlichen kulinarischen Vorlieben und bieten weder "Verkohltes Allerlei"noch "Grünkohl-Schwefel-Saft"an.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim Besuch eines zufällig ausgewählten Restaurants dieser örtlichen Fressmeile sowohl die Speise "Verkohltes Allerlei" als auch das Getränk "Grünkohl-Schwefel-Saft"bestellen kann.

Lösung zu Aufgabe 4

Zu Beginn werden folgenden Bezeichnungen eingeführt:

  • Ereignis, dass in einem zufällig ausgewählten Restaurant "Verkohltes Allerlei"angeboten wird.
  • Ereignis, dass in einem zufällig ausgewählten Restaurant "Grünkohl-Schwefel-Saft"angeboten wird. Gegeben ist:
    Gesucht ist Der Additionssatz besagt:
    Es gibt nur 5 Restaurants, in denen keine der beiden Spezialitäten angeboten wird. Daher wird in 45 der Restaurants mindestens eine der Spezialitäten angeboten:
    Dies zusammen mit den Angaben in den Additionssatz einsetzten.
    Mit einer Wahrscheinlichkeit von wird in einem zufällig ausgewählten Restaurant "Verkohltes Allerlei"und "Grünkohl-Schwefel-Saft"angeboten.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018