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Zufallsvariablen

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Erklärung

Was ist der Erwartungswert?

Der Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable wird Erwartungswert genannt. Nimmt die Werte an, so gilt:
  • muss kein Wert sein, den auch tatsächlich annimmt.
  • Ein Spiel ist fair, wenn dem Einsatz entspricht.
Ist binomialverteilt mit den Parametern und , so gilt .

Wie eine Aufgabenstellung zur Bestimmung des Erwartungswertes aussehen kann, siehst du in folgendem Beispiel:

Bei einem Gewinnspiel kann man für einen Einsatz von € von einem Zufallsgenerator Zufallszahlen von bis generieren lassen. Bei
  • erhält man € Gewinn,
  • und nur € ,
  • jeweils
  • bei und je €.
  • Ansonsten verliert man seinen Einsatz.
Es soll geprüft werden, ob sich eine Teilnahme an dem Spiel lohnt. Man berechnet dazu den Erwartungswert wie folgt:
Also kann man im Schnitt einen Gewinn von Cent erwarten. Dem steht ein Einsatz von einem Euro gegenüber. Das Spiel ist also nicht fair. Auf lange Sicht verliert der Teilnehmer.

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Was ist die Varianz, was ist die Standardabweichung?

Die Streuung einer Zufallsvariable um ihren Erwartungswert wird Varianz genannt. Nimmt die Werte an und hat den Erwartungswert , so gilt:
Oftmals ist auch nach der Standardabweichung gefragt. Diese ist die Wurzel der Varianz. Es gilt also
Ist binomialverteilt mit den Parametern , so gilt

Betrachtet man nochmal obiges Gewinnspiel mit Erwartungswert , so folgt:
Zieht man die Wurzel, erhält man die Standardabweichung .

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Die Firma Supersicherundbillig möchte eine Haftpflichtversicherung BeCareful mit einem monatlichen Beitrag von Euro anbieten. Der Vorstand verfügt über folgende Tabelle jährlicher Versicherungsfälle einer Person:

Zeige, dass diese Versicherung zu billig ist.

Lösung zu Aufgabe 1

Es wird der Erwartungswert der jährlich auszuzahlenden Versicherungssumme pro Person berechnet:

Die Versicherung würde demnach erst ab einem jährlichen Beitrag von mindestens Euro Gewinn machen. Dies entspricht einem monatlichen Beitrag von etwa Euro, d. h. mit dem aktuell geplanten Beitrag von Euro macht die Versicherung Verlust.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Berechne den Erwartungswert . Dabei bezeichnet die Augenzahl beim

  1. Würfeln mit einem Würfel.
  2. Würfeln mit zwei Würfeln.

Lösung zu Aufgabe 2

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 14. 12. 2018