Erklärung
Was ist ein Histogramm?
Es handelt sich dabei um ein Säulendiagramm:
Jedem auf der
Die Höhe der Säule ist die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Wert angenommen wird.
- Ein Histogramm kann auch für Häufigkeitsverteilungen verwendet werden.
Dann werden auf der senkrechten Achse die relativen Häufigkeiten abgetragen.
- Ist das Histogramm symmetrisch um einen Wert, so ist dieser Wert der Erwartungswert.
Wir schauen uns anhand eines Beispiels an, wie aus einer gegebenen Verteilung ein Histogramm erstellt werden kann:
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Ein Würfel wird sieben Mal geworfen.
Die Zufallsvariable
Zeichne ein Histogramm von
Lösung zu Aufgabe 1
Die Wahrscheinlichkeit, in
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben ist das folgende Histogramm einer Zufallsvariablen
- Bestimme den Erwartungswert von
. - Finde ein Zufallsexperiment, das zu diesem Histogramm passt.
Lösung zu Aufgabe 2
- Das Histogramm ist symmetrisch um den Wert
, daher ist dies der Erwartungswert: - Man betrachtet zwei Glücksräder.
Beide sind ingleichgroße Segmente geteilt.
Das erste trägt darin die Zahlen.
Das zweite die Zahlen.
Das Histogramm beschreibt gerade die Wahrscheinlichkeiten der Summe beider Glücksräder.
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Die folgenden Histogramme
- Ordne die Histogramme nach aufsteigender Trefferwahrscheinlichkeit.
- Eines der obigen Histogramme beschreibt die Anzahl von Kopf bei fünfzehn Würfen einer Münze. Welches?
- Eines der obigen Histogramme beschreibt die Anzahl der gewürfelten Sechsen bei fünfzehn Mal würfeln. Welches?
Lösung zu Aufgabe 3
- Je höher die Trefferwahrscheinlichkeit ist, desto mehr wandert der "Gipfel"des Histogramms nach rechts.
Damit sind die Trefferwahrscheinlichkeiten in aufsteigender Reihenfolge - Die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, ist
.
Der Erwartungswert beiWürfen ist: Das Histogrammist um den größten Wert von symmetrisch, also beschreibt Histogramm die Anzahl von Kopf bei fünfzehn Würfen. - Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu werfen, ist
.
Der Erwartungswert beiWürfen ist: Das gesuchte Diagramm hat seinen Gipfel also bei.
Also gehört das Histogrammzu diesem Zufallsexperiment.
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Peter hat sich ein Spiel ausgedacht, um der Langeweile in den Pausen Herr zu werden.
Es wird ein Würfel und eine Münze geworfen.
Zeigt die Münze Zahl, so wird der Wert des Würfels verdoppelt, zeigt sie Kopf, so wird von der Augenzahl Eins abgezogen.
Die Zufallsvariable
- Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von
und zeichne das Histogramm dazu. - Schnell hat sich eine Gruppe um Peter geschart und er wittert das Geschäft.
Frei heraus sagt er: "Der Einsatz beträgt nurEuro! Erzielt ihr eine größere Zahl als , bekommt ihr Euro, ansonsten nichts!"
Macht Peter damit langfristig Gewinn?
Lösung zu Aufgabe 4
-
In einem ersten Schritt wird der Wahrscheinlichkeitsraum bestimmt, d. h. es wird bestimmt, welche Werte
annehmen kann.
Zeigt die Münze Zahl, dann wird der Wert des Würfels verdoppelt.
Mögliche Ergebnisse sind hierWird Kopf angezeigt, dann wird von der Augenzahl Eins abgezogen.
Mögliche Ergebnisse sind nunDamit ist der Ereignisraum bestimmt:Ergebnisse, die sowohl bei Zahl als auch bei Kopf vorkommen, treten mit der Wahrscheinlichkeitauf, die anderen mit . Damit ergibt sich folgendes Histogramm: -
Ist das Ergebnis kleiner oder gleich
, so verliert der Spieler seinen Einsatz.
Ist das Ergebnis größer als, gewinnt der Spieler effektiv Euro (also Euro abzüglich des Einsatzes von Euro).
Der Erwartungswert des Gewinnseines Spielers berechnet sich wie folgt:
Mitergibt sich Ein Spieler verliert also im SchnittEuro pro Spiel, d.h. Peter gewinnt Euro.
Damit macht Peter langfristig Gewinn.