cross

Histogramm

Histogramm

Merksatz

Ein Histogramm ist ein Hilfsmittel, um Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu veranschaulichen. Es handelt sich dabei um ein Säulendiagramm: Jedem auf der -Achse eines Koordinatensystems aufgetragenen Wert der Zufallsvariable wird eine Säule in -Richtung zugeschrieben. Die Höhe der Säule ist die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Wert angenommen wird.

  • Ein Histogramm kann auch für Häufigkeitsverteilungen verwendet werden. Dann werden auf der senkrechten Achse die relativen Häufigkeiten abgetragen.
  • Ist das Histogramm symmetrisch um einen Wert, so ist dieser Wert der Erwartungswert.

Beispiel

Ein Histogramm soll die Verteilung für die Anzahl an Kopf für den gleichzeitigen Wurf von vier Münzen beschreiben.

Damit ergibt sich folgendes Histogramm:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Die folgenden Histogramme , , und zeigen die Häufigkeitsverteilung von vier Binomialverteilungen mit jeweils und verschiedenen Trefferwahrscheinlichkeiten.

  1. Ordne die Histogramme nach aufsteigender Trefferwahrscheinlichkeit.
  2. Eines der obigen Histogramme beschreibt die Anzahl von Kopf bei fünfzehn Würfen einer Münze. Welches?
  3. Eines der obigen Histogramme beschreibt die Anzahl der gewürfelten Sechsen bei fünfzehn Mal würfeln. Welches?

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Je höher die Trefferwahrscheinlichkeit ist, desto mehr wandert der "Gipfel"des Histogramms nach rechts. Damit sind die Trefferwahrscheinlichkeiten in aufsteigender Reihenfolge
  2. Die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, ist . Der Erwartungswert bei Würfen ist:
    Das Histogramm ist um den größten Wert von symmetrisch, also beschreibt Histogramm die Anzahl von Kopf bei fünfzehn Würfen.
  3. Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu werfen, ist . Der Erwartungswert bei Würfen ist:
    Das gesuchte Diagramm hat seinen Gipfel also bei . Also gehört das Histogramm zu diesem Zufallsexperiment.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Peter hat sich ein Spiel ausgedacht, um der Langeweile in den Pausen Herr zu werden. Es wird ein Würfel und eine Münze geworfen. Zeigt die Münze Zahl, so wird der Wert des Würfels verdoppelt, zeigt sie Kopf, so wird von der Augenzahl Eins abgezogen. Die Zufallsvariable bezeichne das Ergebnis dieser Rechnung.

  1. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von und zeichne das Histogramm dazu.
  2. Schnell hat sich eine Gruppe um Peter geschart und er wittert das Geschäft.
    Frei heraus sagt er: "Der Einsatz beträgt nur Euro! Erzielt ihr eine größere Zahl als , bekommt ihr Euro, ansonsten nichts!"
    Macht Peter damit langfristig Gewinn?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. In einem ersten Schritt wird der Wahrscheinlichkeitsraum bestimmt, d. h. es wird bestimmt, welche Werte annehmen kann. Zeigt die Münze Zahl, dann wird der Wert des Würfels verdoppelt. Mögliche Ergebnisse sind hier

    Wird Kopf angezeigt, dann wird von der Augenzahl Eins abgezogen.
    Mögliche Ergebnisse sind nun
    Damit ist der Ereignisraum bestimmt:
    Ergebnisse, die sowohl bei Zahl als auch bei Kopf vorkommen, treten mit der Wahrscheinlichkeit auf, die anderen mit .
    Damit ergibt sich folgendes Histogramm:
  2. Ist das Ergebnis kleiner oder gleich , so verliert der Spieler seinen Einsatz. Ist das Ergebnis größer als , gewinnt der Spieler effektiv Euro (also Euro abzüglich des Einsatzes von Euro). Der Erwartungswert des Gewinns eines Spielers berechnet sich wie folgt:

    Mit ergibt sich
    Ein Spieler verliert also im Schnitt Euro pro Spiel, d.\,h. Peter gewinnt Euro. Damit macht Peter langfristig Gewinn.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Ein Würfel wird sieben Mal geworfen. Die Zufallsvariable bezeichne die Anzahl der gewürfelten Sechsen. Zeichne ein Histogramm von .

Lösung zu Aufgabe 1

Die Wahrscheinlichkeit, in Würfen Sechsen zu würfeln ist

Damit wurden die Wahrscheinlichkeiten in folgender Tabelle berechnet:
Damit ergibt sich folgendes Histogramm:

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben ist das folgende Histogramm einer Zufallsvariablen .

  1. Bestimme den Erwartungswert von .
  2. Finde ein Zufallsexperiment, das zu diesem Histogramm passt.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Das Histogramm ist symmetrisch um den Wert , daher ist dies der Erwartungswert:
  2. Man betrachtet zwei Glücksräder. Beide sind in gleichgroße Segmente geteilt. Das erste trägt darin die Zahlen . Das zweite die Zahlen . Das Histogramm beschreibt gerade die Wahrscheinlichkeiten der Summe beider Glücksräder.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018