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Zufallsvariablen

Unabhängigkeit von Zufallsvariablen (stochastische Unabhängigkeit)

Erklärung

Wann sind zwei Ereignisse (stochastisch) unabhängig?

Zwei Ereignisse und heißen (stochastisch) unabhängig, falls das Eintreten von keinen Einfluss auf das Eintreten von hat (und umgekehrt).
Es gilt:

Wir betrachten ein Beispiel:

Bei einem Spiel werden ein roter und ein grüner Würfel gleichzeitig geworfen.
Sind die Ereignisse
  • : Der rote Würfel ist eine oder eine .
  • : Es wird ein Pasch gewürfelt, d.h. beide Würfel haben dieselbe Augenzahl.
stochastisch unabhängig?

Es gilt:
  •     (Denn ).
Damit gilt
Also sind und unabhängig.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Nachfolgend sind zwei Zitate abgebildet.
Bestimme jeweils das zugrundeliegende Verständnis des jeweiligen Autors bezüglich der stochastischen Unabhängigkeit der Ereignisse (Eine Person ist weiblich.) und (Eine Person ist naturwissenschaftlich begabt.).

  • Aus einer Zeitung aus dem 19. Jahrhundert: "Es liegt in der Natur, dass Männer die besseren Naturwissenschaftler sind. Als Frau geboren zu sein bedeutet, dass von dieser Person bis auf wenige Ausnahmen keine naturwissenschaftlichen Leistungen zu erwarten sind."
  • Aus einer aktuellen Fachzeitschrift: "Hinsichtlich des Geschlechts und der naturwissenschaftlichen Begabung einer Person wurde in der vorliegenden Studie kein Zusammenhang entdeckt."

Lösung zu Aufgabe 1

  • Der Autor geht von einer stochastischen Abhängigkeit aus.
    Männlich zu sein impliziert für den Autor, dass die Wahrscheinlichkeit, naturwissenschaftlich begabt zu sein, steigt.
  • Hier geht der Autor von einer stochastischen Unabhängigkeit aus.
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Es wird mit zwei Würfeln gewürfelt.
Untersuche folgende Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit:

  • : Die Augensumme ist gerade.
  • : Das Produkt der Augenzahlen beider Würfel ist gerade.

Lösung zu Aufgabe 2

Die Schnittmenge sind alle Paare gerader Zahlen:
Damit sind und nicht stochastisch unabhängig.

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Beim abiturma-Kurs wird untersucht, wie viele Mädchen () beziehungsweise Jungs mit dem Auto () anreisen.
Dabei wurden folgende Werte ermittelt

Untersuche, ob die Art der Anreise stochastisch unabhängig vom Geschlecht ist.

Lösung zu Aufgabe 3

Damit ist die Art der Anreise stochastisch unabhängig vom Geschlecht.
Daran ändert sich auch nichts, wenn man in der Rechnung mit einem der Gegenereignisse (z.B. und ) rechnet.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 01. 2019