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Abi Baden-Württemberg 2014 Pflichtteil

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Aufgabe 9

Aufgabe

Aufgabe 1

Bilden Sie die Ableitung der Funktion mit .

(2 VP)

Aufgabe 2

Berechnen Sie das Integral .

(2 VP)

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung .

(3 VP)

Aufgabe 4

Gegeben sind die Funktionen und mit und .

  1. Beschreiben Sie, wie man den Graphen von aus dem Graphen von erhält.
  2. Bestimmen Sie die Nullstellen von für .
    (4 VP)

Aufgabe 5

Die Abbildung zeigt die Graphen und zweier Funktionen und .

  1. Bestimmen Sie . Bestimmen Sie einen Wert für so, dass ist.
  2. Die Funktion ist gegeben durch . Bestimmen Sie .
    (4 VP)

Aufgabe 6

Gegeben sind die Ebenen und .

  1. Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von und an.
  2. Die Ebene ist parallel zur -Achse und schneidet die -Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene . Geben Sie eine Gleichung der Ebene an.
    (5 VP)

Aufgabe 7

Gegeben sind die Punkte , und . Die Gerade verläuft durch und .

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes von der Geraden .

(4 VP)

Aufgabe 8

An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele.

  1. Formulieren Sie ein Ereignis , für das gilt:

  2. Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal?

    (3 VP)

Aufgabe 9

Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene. Die Kugel berührt diese Ebene.

Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann.

(3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Die Funktion ist ein Produkt von Funktionen . Die beiden Funktionen und sind dabei gegeben durch

Es gelten:
Nach der Produktregel kann nun die Ableitung der Funktion bestimmt werden:

Lösung zu Aufgabe 2

Die zu integrierende Funktion lässt sich zunächst umformen:

Um die Stammfunktion zu bilden, wird die Regel für die Stammfunktion von linear verketteten Funktionen benutzt. Diese lautet:
In diesem Fall ist die äußere Funktion
Eine Stammfunktion von ergibt sich durch die Potenzregel für Stammfunktionen und lautet:
Weiter ist
Eine Stammfunktion von lautet somit
Damit lässt sich der Wert des Integral nun berechnen:

Lösung zu Aufgabe 3

Die Gleichung kann umgeformt werden zur Gleichung

Es handelt sich hierbei um eine biquadratische Gleichung, die sich mithilfe der Substitution lösen lässt. Zu lösen ist folgende Gleichung:
Diese quadratische Gleichung kann nun mit der Mitternachtsformel gelöst werden:
Damit gilt also
Die Rücksubstitution liefert nun die Lösungen der ursprünglichen Gleichung
Die Gleichung besitzt die Lösungsmenge

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Der Graph einer Funktion der Form

    entsteht aus dem Graphen der Funktion mit durch Streckung/Stauchung in -Richtung mit dem Faktor , Streckung/Stauchung in -Richtung um den Faktor und anschließende Verschiebung in -Richtung um .

    Den Graphen der angegebenen Funktion erhält man somit, indem man den Graphen der Funktion

    • um den Faktor in -Richtung streckt,
    • um den Faktor in -Richtung streckt und
    • um Längeneinheiten in negative -Richtung verschiebt, also um nach unten verschiebt.

Hierbei ist zu beachten, dass die Verschiebung in -Richtung erst nach der Streckung in -Richtung erfolgt. 1. Es gilt

Der Kosinus nimmt den Wert bei , also bei allen ganzzahligen Vielfachen von an. Es muss daher ermittelt werden, wann ein ganzzahliges Vielfaches von ist:
für . Für und ergeben sich die Lösungen für die Nullstellen der gegebenen Gleichung im Bereich :

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Bestimmung von

    Dafür ist zunächst der Funktionswert der inneren Funktion an der Stelle , also , aus dem Graphen abzulesen. Es gilt:
    Somit ist . Dieser Wert lässt sich nun am Graphen ablesen

    Lösungen der Gleichung

    Dafür sind zunächst die Nullstellen der Funktion zu bestimmen. Aus dem Schaubild kann abgelesen werden:

    Gesucht sind daher diejenigen Werte für mit
    Die Abbildung zeigt:
    Für oder gilt .
  2. Zunächst lässt sich allgemein die Ableitung der Funktion mithilfe der Produktregel bilden:

    Die Werte für und lassen sich auch hier mithilfe der Graphen und ermitteln:
    Die Funktion hat an der Stelle ein Minimum. Daher besitzt die Ableitung von an dieser Stelle eine Nullstelle:
    Aus dem Schaubild kann abgelesen werden, dass der Graph zu einer linearen Funktion gehört. Die Steigung lässt sich mit einem Steigungsdreieck ermitteln. Es folgt
    Somit ist
    Diese Werte können nun in die Ableitungsfunktion von eingesetzt werden:

    Alternativer Weg:

    Die Funktionsterme der Funktionen und sind leicht zu bestimmen:

    Wegen gilt und
    Hiermit lässt sich bestimmen:

Lösung zu Aufgabe 6

  1. Auch wenn in dieser Aufgabe nur die unten dargestellten Zeichnung verlangt ist, sei hier kurz das Vorgehen beschrieben: Um eine Ebene zu skizzieren wird nach den Spurpunkten gesucht. Also nach den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen. Dafür werden zwei Koordinaten in der Ebenengleichung gleich gesetzt und die dritte Koordinate wird berechnet.

    Für die Ebene sind das:

    • Für ist . Schnittpunkt mit der -Achse: .
    • Für ist . Schnittpunkt mit der -Achse: .
    • Für ist . Die Ebene schneidet die -Achse somit nicht, sondern sie ist parallel zu dieser.

    Und für die Ebene :

    • Für ist . Schnittpunkt mit der -Achse: .
    • Für ist . Schnittpunkt mit der -Achse: .
    • Für ist . Schnittpunkt mit der -Achse: . \end{itemize}
      Die Ebenen haben die gleiche Spurgerade: Die Gerade durch und . Verlaufen zwei Ebenen durch dieselbe Gerade, sind sie entweder identisch oder diese Gerade ist die Schnittgerade der beiden Ebenen.
      Da die Ebene die -Achse schneidet und die Ebene nicht, muss diese Spurgerade die Schnittgerade von und sein. Diese Schnittgerade lässt sich mit Hilfe der beiden Spurpunkten jetzt angeben:
  2. Da die Ebene parallel zur -Achse verläuft, ist der Koeffizient vor in der Ebenengleichung , denn für einen Normalenvektor von gilt . Ein Ansatz für die Ebenengleichung lautet somit:

    Da die Ebene die -Ebene in der selben Spurgeraden schneidet wie die Ebene , kann dieser Teil einfach von übernommen werden und es ist

    Alternativer Weg:
    Da die Ebene die -Ebene in der selben Spurgerade schneidet wie die Ebene , hat auch die Spurpunkte und . Werden diese in die Ebenengleichung eingesetzt, ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen:
    Wird für nun eine beliebige Zahl ungleich gewählt, so können und in Abhängigkeit davon berechnet werden. Für ist und und somit
    Hier wird sofort deutlich, dass diese Gleichung für ein Vielfaches der ersten Möglichkeit ist.

Lösung zu Aufgabe 7

Zunächst wird eine Gleichung der Geraden durch die Punkte und bestimmt:

Den Abstand vom Punkt zu Geraden kann mit dem Lotfußpuntkverfahren bestimmt werden. Dafür wird eine Hilfsebene gebildet, die von der Geraden senkrecht geschnitten wird und den Punkt enthält. Dass die Hilfsebene senkrecht schneidet, bedeutet, dass der Richtungsvektor der Geraden oder ein Vielfaches davon als Normalenvektor der Ebene verwendet wird. Ein Ansatz für die Hilfsebene in Koordinatengleichung lautet dann
Da ein Punkt der Hilfsebene sein soll, kann bestimmt werden, indem in die vorläufige Koordinatenform eingesetzt wird:
Eine Gleichung der Hilfsebene ist:
Der Lotfußpunkt , also der Punkt der Geraden , der zu den geringsten Abstand hat, ist dann der Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene :
Wird in die Geradengleichung gesetzt, ergibt sich der Lotfußpunkt :
Der Lotfußpunkt besitzt die Koordinaten . Der Abstand von zu ist dann die Länge des Verbindungsvektors zwischen und :
Der Abstand von zur Geraden durch und beträgt .
Alternativer Weg:
Im folgenden Schaubild sind die Punkte $ und die Gerade dargestellt.
Beschreibt den Winkel zwischen den Vektoren und im Dreieck, so berechnet sich der Abstand von zur Geraden durch und als
Zugang zum Winkel bekommt man mithilfe der Kosinusformel des Skalarprodukts
Quadriert man diese Gleichung, so kann man diese umformen und einsetzen:
Zusammen mit
erhält man:
Es gelten:
und damit
Diese Werte werden in die obige Formel eingesetzt:
Da Abstände immer positiv sind, ist somit der Abstand von zur Geraden gleich .

Lösung zu Aufgabe 8

  1. Es handelt sich bei der angegebenen Wahrscheinlichkeit offensichtlich um die einer kumulierten Binomialverteilung. Für diese gilt allgemein:
    Dabei werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten mit der Formel für die Binomialverteilung berechnet:
    Hier ist die Trefferanzahl, die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl Durchführungen.
    In dem Fall gibt es offensichtlich Durchführungen, die Trefferwahrscheinlichkeit ist .
    Achtung: Die Trefferwahrscheinlichkeit beschreibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit dafür, das Spiel zu verlieren.
    Die einzelnen Summanden geben die Wahrscheinlichkeiten an, dass das genau 8 mal, genau 9 mal, bzw. genau 10 mal der Fall ist. Das heißt, das Ereignis lautet zum Beispiel:
    "Mindestens acht von zehn Spielen werden verloren."
  2. Die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Mal zu verlieren, wird mit der Binomialverteilung berechnet: Die Zufallsvariable gibt die Anzahl der Spiele an, die verloren werden. Die Wahrscheinlichkeit für das Verlieren ist und die Anzahl der Durchführungen ist . Damit lautet die Formel:
    Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa wird von vier Spielen genau zwei Mal verloren.

Lösung zu Aufgabe 9

  1. Der Berührpunkt der Ebene mit der Kugel ist der Punkt der Ebene, der den kürzesten Abstand zum Mittelpunkt hat.
    Der Kugelradius ist gleich dem Abstand zwischen dem Berührpunkt der Ebene mit der Kugel und deren Mittelpunkt.
    Zur Veranschaulichung wird eine Skizze angefertigt.
    Die gesuchten Werte lassen sich dann wie folgt berechnen:
    • Es wird eine Gleichung der Lotgeraden zur Ebene durch den Mittelpunkt aufgestellt.
    • Als Richtungsvektor der Geraden wird also Normalenvektor der Ebene verwendet und wird als Stützvektor verwendet.
    • Der Schnittpunkt von und ist der gesuchte Berührpunkt .
    • Der gesuchte Kugelradius entspricht der Länge des Vektors , also .