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Abi Baden-Württemberg 2017 Wahlteil C2 (Stochastik)

Aufgabe

Aufgabe C 2

Bei dem dargestellten Glücksspielautomaten sind zwei Glücksräder und mit fünf bzw. vier gleich großen Kreissektoren angebracht.

Bei jedem Spiel werden sie in Drehung versetzt und laufen dann unabhängig voneinander aus. Schließlich bleiben sie so stehen, dass von jedem Rad genau eine Zahl im Rahmen angezeigt wird. Der Spieleinsatz beträgt . Sind die beiden angezeigten Zahlen gleich, so wird deren Summe in Euro ausgezahlt; andernfalls wird nichts ausgezahlt. Der Hauptgewinn besteht also darin, dass ausgezahlt werden.
  1. Ein Spieler spielt zehn Mal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
    "Das Glücksrad zeigt genau fünf Mal die Zahl .
    "Beim ersten Spiel beträgt die Summe der beiden angezeigten Zahlen ."
    "Der Spieler erhält mindestens einmal den Hauptgewinn."
    (3 VP)
  2. Mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als soll in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt werden.
    Berechnen Sie, wie oft man dazu mindestens spielen muss.
    (2 VP)
  3. Berechnen Sie, wie viel der Betreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel verdient.
    (2 VP)
  4. Der Betreiber möchte erreichen, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal beträgt.
    Dazu möchte er beim Glücksrad den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, der mit der Zahl beschriftet ist.
    Berechnen Sie, wie weit der Mittelpunktswinkel dieses Kreissektors maximal gewählt werden darf.
    (3 VP)

Lösung

Lösung zu Aufgabe C 2

  1. Die Wahrscheinlichkeiten für das Erdrehen der Zahlen sind unabhängig voneinander und gleichbleibend. Es kann also angenommen werden, dass eine Binomialverteilung zugrunde liegt.

    Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

    Es gilt:

    Die Wahrscheinlichkeit, dass bei zehnmaligem Drehen des Glücksrades genau fünf mal die Zahl 1 erdreht wird, liegt bei ungefähr .

    Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

    Die Summe 10 kann erreicht werden durch das Erdrehen der folgenden Zahlen:

    • Glücksrad zeigt die Zahl und Glücksrad die Zahl .
    • Glücksrad zeigt die Zahl und Glücksrad die Zahl .

    Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis kann wie folgt berechnet werden:

    Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Spiel die Summe der angezeigten Zahlen 10 ist, beträgt .

    Wahrscheinlichkeit für das Ereignis

    Die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn beträgt:

    Die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal den Hauptgewinn zu erzielen, ist die Gegenwahrscheinlichkeit davon, niemals den Hauptgewinn zu erzielen. Insofern gilt:
    Die Wahrscheinlichkeit, in 10 Spielen mindestens einmal den Hauptgewinn zu erzielen, liegt bei ungefähr .
  2. Analog zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis in Aufgabenteil a) wird auch hier Gegenwahrscheinlichkeit zum Ereignis betrachtet. Dann ist dasjenige gesucht, für das gilt:

    Diese Ungleichung löst man mithilfe eines GTR oder durch Anwendung der Logarithmusfunktion. Es folgt:
    Man muss mindestens -mal die Glücksräder drehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als mindestens einmal der Hauptgewinn erzielt wird.
  3. Die Zufallsvariable beschreibt den Gewinn des Spiels in Euro. Hierbei muss vom erzielten Gewinn jeweils noch der Einsatz abgezogen werden: Es gelten:

  • Beide Glücksräder zeigen eine 1: ,
  • Beide Glücksräder zeigen eine 2: ,
  • Beide Glücksräder zeigen eine 8: ,
  • Die Glücksräder zeigen unterschiedliche Zahlen: .

    Die Wahrscheinlichkeiten für die Gewinnausschüttungen betragen:

    Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Gewinn erzielt wird, liegt bei:
    Der Erwartungswert aus Sicht des Spielers kann wie folgt berechnet werden:
    Der Spieler verliert also im Schnitt Cent pro Spiel, dementsprechend macht der Betreiber einen Gewinn von Cent pro Spiel.
  1. Das Glücksrad soll so verändert werden, dass die Wahrscheinlichkeit, in zehn Spielen mindestens einmal den Hauptgewinn zu erzielen maximal beträgt.
    Ein Hauptgewinn wird erzielt, wenn beide Glücksräder eine 8 zeigen. Die Wahrscheinlichkeit für das Erdrehen einer 8 in Glücksrad wird mit bezeichnet. Damit ist die Wahrscheinlichkeit , den Hauptgewinn zu erzielen, gegeben durch:
    Die Zufallsvariable stellt die Anzahl der Hauptgewinne bei zehnmaligem Drehen dar. Es soll also gelten:
    Diese kann wieder wie folgt über das Gegenereignis aufgelöst werden:
    Die Wahrscheinlichkeit in zehn Spielen keinen Hauptgewinn zu erzielen, beträgt:
    und damit:
    Die Wahrscheinlichkeit, am Glücksrad 2 eine zu erdrehen, darf also maximal sein. Um hieraus das Maß des Mittelpunktwinkels zu bestimmen, muss man nur noch mit zu multiplizieren:
    Der Mittelpunktswinkel des Kreissektors darf also höchstens betragen.