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Abi Bayern 2014 Analysis A2

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 4 (CAS)
Aufgabe 5

Aufgabe

Aufgabe 1

Geben Sie jeweils den Term einer in definierten periodischen Funktion an, die die angegebene Eigenschaft hat.

  1. Der Graph der Funktion geht aus dem Graphen der in definierten Funktion durch Spiegelung an der -Achse hervor.
    (1 BE)
  2. Die Funktion h hat den Wertebereich .
    (1 BE)
  3. Die Funktion besitzt die Periode .
    (1 BE)

Aufgabe 2

Gegeben ist die in definierte Funktion mit .

  1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion .
    (2 BE)
  2. Zeigen Sie, dass die in definierte Funktion mit eine Stammfunktion von ist. Geben Sie eine Gleichung einer weiteren Stammfunktion von an, für die gilt.
    (3 BE)

Aufgabe 3

Der Graph einer in definierten Funktion besitzt für zwei Wendepunkte. Entscheiden Sie, welcher der Graphen , und zur zweiten Ableitungsfunktion von gehört. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Aufgabe 4

In einem Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) werden alle Rechtecke betrachtet, die folgende Bedingungen erfüllen:

  • Zwei Seiten liegen auf den Koordinatenachsen.
  • Ein Eckpunkt liegt auf dem Graphen der Funktion mit .

Abbildung 1 zeigt ein solches Rechteck.

Unter den betrachteten Rechtecken gibt es eines mit größtem Flächeninhalt.
Berechnen Sie die Seitenlängen dieses Rechtecks.

Aufgabe 5

Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion .

  1. Beschreiben Sie für den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von .
    (2 BE)
  2. Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen einer Stammfunktion von im gesamten dargestellten Bereich.
    (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Die Funktionsgleichung eines an der -Achse gespiegelten Graphen erhält man, indem man in der ursprünglichen Funktionsgleichung die Variable durch ersetzt. Die Funktionsgleichung der Funktion lautet also:
  2. Gesucht ist eine periodische Funktion mit Wertemenge . Eine der einfachsten periodischen Funktionen ist die Sinusfunktion. Diese hat die Wertemenge . Durch Verschiebung des Graphen dieser Funktion um in -Richtung erhält man die gewünschte Wertemenge . Eine Funktion , die die vorgegebenen Eigenschaften erfüllt, ist:

    Alternativer Weg 1:
    Die Cosinusfunktion ist ebenfalls periodisch mit Wertemenge . Verschiebt man den Graphen dieser Funktion um nach oben, erhält man wieder eine Funktion mit den gewünschten Eigenschaften:

    Alternativer Weg 2:
    Bei dieser Teilaufgabe spielt die Periodenlänge keine Rolle, deshalb kommen auch Funktionen der Form

    mit einem beliebigen infrage.
  3. Die Sinusfunktion hat die Periodenlänge . Die Periode einer Funktion wird durch Multiplikation des Arguments mit dem Faktor verändert. Die Periodenlänge der Funktion soll halb so groß sein wie die der Sinusfunktion. Daher muss gewählt werden. Eine mögliche Funktionsgleichung für die Funktion lautet somit:

    Alternativer Weg 1:
    Ähnlich wie in Teilaufgabe b) liefert auch hier der Ansatz mit einer Cosinusfunktion ein korrektes Ergebnis, also:

    Alternativer Weg 2:
    Da der Wertebereich in diesem Fall keine Rolle spielt, kommen auch Funktionen mit

    mit einem beliebigem infrage.

Lösung zu Aufgabe 2

Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 2 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben.

  1. Die Nullstellen sind und .
  2. Nachweis der Stammfunktion

    Es gilt:

    Angabe weiterer Stammfunktion mit

    Die Stammfunktion lautet .

Lösung zu Aufgabe 3

Gegeben ist mit zwei Wendepunkten. Die Funktion hat an der Stelle genau dann einen Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat.

  • Der Graph besitzt nur eine Nullstelle und kann somit ausgeschlossen werden.
  • Der Graph besitzt zwar zwei Nullstellen, allerdings sind beide ohne Vorzeichenwechsel.
  • Der Graph besitzt im Bereich zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel und ist deshalb der gesuchte Graph der zweiten Ableitung .

Lösung zu Aufgabe 4

Der Eckpunkt auf dem Graphen wird mit bezeichnet. Hierbei gilt .

Das Rechteck hat also die Seitenlängen und . Für den Flächeninhalt gilt somit:
Im nächsten Schritt wird der maximale Flächeninhalt bestimmt. Dafür wird zunächst die Ableitung berechnet:
Nun werden die Nullstellen der Ableitung bestimmt:
Die Stelle liegt innerhalb des Definitionsbereiches und ist somit ein Kandidat für eine Extremstelle.

Mithilfe der zweiten Ableitung lässt sich überprüfen, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von handelt.

Die zweite Ableitung ist an der Stelle negativ, deshalb handelt es sich um einen Hochpunkt.

Alternativer Weg:
Die -Funktion ist eine streng monoton wachsende Funktion. Die Funktion muss also streng monoton fallend sein. Es muss dann insbesondere an der Nullstelle im Inneren des Definitionsbereiches zwingend einen Vorzeichenwechsel von + zu - geben. Die Funktion ist für definiert und es gelten:

Das globale Maximum der Funktion wird also an der Stelle angenommen. Für die Länge der zweiten Seite gilt
Die Seiten des Rechtecks haben somit die Längen und .

Lösung zu Aufgabe 5

Diese Aufgabe entspricht Aufgabe 4 aus Aufgabengruppe 1, daher werden hier nur die Ergebnisse angegeben.

  1. Der Graph der Stammfunktion besitzt in diesem Intervall einen Hochpunkt.
  2. Verlauf des Graphen von :