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Abi Bayern 2014 Stochastik A1

Videolösungen

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3

Aufgabe

Aufgabe 1

In Urne befinden sich zwei rote und drei weiße Kugeln. Urne enthält drei rote und zwei weiße Kugeln. Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment:

Aus Urne wird eine Kugel zufällig entnommen und in Urne gelegt; danach wird aus Urne eine Kugel zufällig entnommen und in Urne gelegt.

  1. Geben Sie alle Möglichkeiten für den Inhalt der Urne nach der Durchführung des Zufallsexperiments an.
    (2 BE)
  2. Betrachtet wird das Ereignis : "Nach Durchführung des Zufallsexperiments befinden sich wieder drei weiße Kugeln in Urne ." Untersuchen Sie, ob das Ereignis eine größere Wahrscheinlichkeit als sein Gegenereignis hat.
    (3 BE)

Aufgabe 2

Betrachtet wird eine Bernoullikette mit der Trefferwahrscheinlichkeit und der Länge .

Beschreiben Sie zu dieser Bernoullikette ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term angegeben wird.

(2 BE)

Aufgabe 3

Die Zufallsgröße kann die Werte , , und annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von mit .

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von nicht größer als sein kann.

(3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Beim ersten Ziehen befinden sich Kugeln in der Urne und beim zweiten Ziehen liegen Kugeln in der Urne . Folgendes Baumdiagramm stellt das Experiment dar.

  1. Dem Baumdiagramm entnimmt man die möglichen Ausgänge für Urne :
  2. Betrachtet man das Baumdiagramm, dann sind am Ende des Experiments weiße Kugeln in der Urne , wenn man entweder zwei rote Kugeln oder zwei weiße Kugeln zieht. Nach der 2. Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit für die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade:
    Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist:
    Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ist also größer als die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis.

Lösung zu Aufgabe 2

Die Wahrscheinlichkeit in einer Bernoulli-Kette der Länge mit Trefferwahrscheinlichkeit genau Treffer zu erzielen beträgt:

Die angegebene Wahrscheinlichkeit lässt sich schreiben als:
Angegeben ist somit hier die Wahrscheinlichkeit, oder Treffer zu erzielen. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit, mindestens Treffer zu erzielen.

Alternativer Weg: Es wird hier die Wahrscheinlichkeit angegeben, oder Niete zu erzielen. Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit, höchstens Niete zu erzielen.

Lösung zu Aufgabe 3

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung muss ergeben, es muss also gelten:

Der Erwartungswert der Zufallsvariable ist gegeben durch:
Aus dieser Gleichung kann abgelesen werden, dass für den Erwartungswert gilt: Je größer die Wahrscheinlichkeit ist, desto größer ist der Erwartungswert. Nutzt man nun aus, dass gelten muss, so erhält man:
Der Erwartungswert kann somit höchstens sein.