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Abi Bayern 2016 Geometrie B2

Videolösungen

Aufgabe 1 (1/3)
Aufgabe 1 (2/3)
Aufgabe 1 (3/3)

Aufgabe

Für die Fernsehübertragung eines Fußballspiels wird über dem Spielfeld eine bewegliche Kamera installiert. Ein Seilzugsystem, das an vier Masten befestigt wird, hält die Kamera in der gewünschten Position. Seilwinden, welche die Seile koordiniert verkürzen und verlängern, ermöglichen eine Bewegung der Kamera.

In der Abbildung ist das horizontale Spielfeld modellhaft als Rechteck in der -Ebene eines kartesischen Koordinatensystems dargestellt. Die Punkte , , und beschreiben die Positionen der vier Seilwinden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht in der Realität, d.h. alle vier Seilwinden sind in einer Höhe von angebracht.

Der Punkt beschreibt die Lage des Anstoßpunkts auf dem Spielfeld. Die Kamera befindet sich zunächst in einer Höhe von vertikal über dem Anstoßpunkt. Um den Anstoß zu filmen, wird die Kamera um vertikal abgesenkt. In der Abbildung ist die ursprüngliche Kameraposition durch den Punkt , die abgesenkte Position durch den Punkt dargestellt.
  1. Berechnen Sie die Seillänge, die von jeder der vier Seilwinden abgerollt werden muss, um dieses Absenken zu ermöglichen, wenn man davon ausgeht, dass die Seile geradlinig verlaufen.
    (4 BE)

Kurze Zeit später legt sich ein Torhüter den Ball für einen Abstoß bereit. Der Abstoß soll von der Kamera aufgenommen werden. Durch das gleichzeitige Verlängern beziehungsweise Verkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunkt bewegt, der in einer Höhe von über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunkt durch den Punkt beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom Punkt entlang der Geraden mit der Gleichung

  1. Bestimmen Sie die Koordinaten von .
    Ergebnis:
    (3 BE)
  2. Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert. Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden.
    Berechnen Sie die Größe des erforderlichen Drehwinkels.
    (4 BE)

Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt beschrieben.

  1. Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte , und festgelegten Ebene in Normalenform und weisen Sie nach, dass unterhalb von liegt.
    Mögliches Teilergebnis:
    (7 BE)
  2. Machen Sie plausibel, dass folgende allgemeine Schlussfolgerung falsch ist: "Liegen der Startpunkt und der anvisierte höchste Punkt einer Flugbahn des Balls im Modell unterhalb der Ebene , so kann der Ball entlang seiner Bahn die Seile, die durch und beschrieben werden, nicht berühren."
    (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Zunächst werden die Koordinaten der Punkte und bestimmt. Die Kamera befindet sich zunächst vertikal über dem Anstoßpunkt. Es gilt also:
    Anschließend wir die Kamera vertikal abgesenkt. Sie befindet sich dann nur noch oberhalb des Anstoßpunktes. Es gilt also:
    Aufgrund der Symmetrie wird nun die an der Winde zusätzlich benötigte Seillänge bei Absenken der Kamera berechnet. Hierfür werden zunächst die benötigten Seillängen für Kameraposition bestimmt. Die benötigte Seillänge entspricht der Länge des Verbindungsvektors:
    Die benötigte Seillänge für Kameraposition beträgt:
    Die zusätzlich benötigte Seillänge kann dann als Differenz der beiden berechneten Längen bestimmt werden:
    Von jeder Seilwinde müssen ungefähr Seil zusätzlich abgerollt werden um das Absenken der Kamera vertikal über dem Anstoßpunkt um zu ermöglichen.
  2. Der Punkt befindet sich in einer Höhe von über dem Spielfeld. Für die -Koordinate des Punktes gilt also: . Außerdem liegt der Punkt auf der Geraden .

    Eine Geradengleichung für ist gegeben durch:

    Es muss also gelten:
    Damit gilt also für den Ortsvektor zum Punkt :
    Der Zielpunkt der Kamera ist .
  3. Die Kamera befindet sich in Punkt und visiert den Punkt an. Die Kamera ist also so positioniert, dass sie in Richtung weist mit
    Die Kamera zeigte zunächst in Richtung
    Der erforderliche Drehwinkel entspricht dann dem Winkel zwischen den beiden Vektoren und .
    Der gesuchte Winkel ist ein spitzer Winkel und damit gegeben durch:
    Die Kamera muss sich also um ungefähr drehen.
  4. Koordinatengleichung von

    Die Punkte , und liegen in der Ebene . Der Punkt kann dann als Stützpunkt gewählt werden und die Vektoren und als Spannvektoren. Eine mögliche Parameterdarstellung der Ebene ist dann gegeben durch:

    Ein Normalenvektor der Ebene kann zum Beispiel mithilfe des Kreuzproduktes der beiden Spannvektoren bestimmt werden:
    Eine Koordinatengleichung der Ebene lautet also
    Eine Punktprobe mit liefert den Wert des Parameters :
    Eine Koordinatengleichung der Ebene ist gegeben durch:
    Multipliziert man die gesamte Ebenengleichung mit dem Faktor , so erhält man:
    Dies entspricht dem Kontrollergebnis.

    Lage von unterhalb der Ebene

    Sei ein Punkt, der dieselben und -Koordinaten wie besitzt und auf der Ebene liegt. Es gilt also . Die -Koordinate von kann durch eine Punktprobe bestimmt werden:

    Derjenige Punkt, welcher in vertikaler Richtung über oder unter dem Punkt liegt und in der Ebene enthalten ist, hat die Höhe . Der Punkt hingegen hat eine Höhe von . Damit liegt der Punkt unterhalb der Ebene .
  5. Die Schlussfolgerung ist falsch, weil die Flugbahn des Fußballs im Allgemeinen nicht geradlinig verläuft, sondern vielmehr parabelförmig. Deshalb kann die Flugbahn die Ebene berühren oder schneiden, selbst wenn ihr Startpunkt und ihr höchster Punkt unterhalb von liegen. Dieser Sachverhalt ist in der nachfolgenden Skizze veranschaulicht.