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Abi Bayern 2018 Analysis A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Geben Sie für die Funktionen und jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

(4 VP)

Aufgabe 2

Geben Sie den Term einer in definierten Funktion an, deren Graph im Punkt eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.

(3 VP)

Aufgabe 3

Gegeben ist die in definierte Funktion mit . Weisen Sie nach, dass folgende Eigenschaften besitzt:

  • Der Graph von besitzt an der Stelle die Steigung .
  • Der Graph von besitzt im Punkt die -Achse als Tangente.
  • Die Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt kann durch die Gleichung beschrieben werden.
    (5 VP)

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in definierten Funktion mit dem Wendepunkt .

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von an der Stelle .

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion von in die Abbildung; berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von sowie den für ermittelten Näherungswert.

(3 VP)

Aufgabe 5

Für jeden Wert von mit ist eine Funktion durch mit gegeben.

  1. Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

(2 BE)
  1. Für jeden Wert von besitzt der Graph von genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von , für den der Graph der Funktion an der Stelle einen Extrempunkt hat.
    (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Die Funktion ist gegeben durch

Bestimmung der Definitionsmenge

Der Term im Nenner darf nicht Null werden, daher werden zunächst die Nullstellen des Nenners bestimmt. Es gilt:

Weitere Einschränkungen gibt es nicht, damit gilt für die Definitionsmenge

Bestimmung der Nullstellen

Die Nullstellen von sind die Lösungen der Gleichung

Die Nullstelle der Funktion ist gegeben durch .

Die Funktion ist gegeben durch

Bestimmung der Definitionsmenge

Das Argument in der Logarithmusfunktion muss positiv sein. Es muss also gelten:

Weitere Einschränkungen gibt es nicht, damit gilt für die Definitionsmenge

Bestimmung der Nullstellen

Die Nullstellen von sind die Lösungen der Gleichung

Die Nullstelle der Funktion ist gegeben durch .

Lösung zu Aufgabe 2

Gesucht ist der Term einer in definierten Funktion , deren Graph im Punkt eine waagrechte Tangente besitzt, aber keinen Extrempunkt hat. Ein Punkt eines Graphen einer Funktion mit waagrechter Tangente ist entweder ein Extrempunkt oder ein Terrassenpunkt. Der Graph der Funktion hat im Punkt also einen Terrassenpunkt. Es gilt:

  • Die Funktion mit ist auf ganz definiert.
  • Der Graph der Funktion mit besitzt den Terrassenpunkt .
  • Wird nun der Graph von um 2 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben verschoben, so besitzt der Graph dieser Funktion den Terrassenpunkt . Eine mögliche Funktionsgleichung für ist damit die folgende:

Alternativer Weg: Der Funktionsterm für kann beispielsweise auch folgende Gestalt haben

Lösung zu Aufgabe 3

Die Funktion ist gegeben durch:

Zunächst wird die Ableitung der Funktion bestimmt:
  • Es gilt also:
    Der Graph von besitzt also an der Stelle die Steigung .
  • Nachzuweisen ist, dass die Gleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt ist. Zunächst wird der Funktionswert von an der Stelle bestimmt: Es gilt:
    Außerdem gilt:
    Es gelten also und , damit hat der Graph von im Punkt die -Achse als Tangente.
  • Zunächst wird auch hier der Funktionswert von an der Stelle bestimmt:
    Der Graph von verläuft daher durch den Punkt . Außerdem gilt:
    Eine Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt hat also die Gleichung
    Eine Punktprobe mit dem Punkt liefert den Wert des -Achsenabschnitts :
    Damit hat die Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt die Gleichung .

Lösung zu Aufgabe 4

Ermittlung des Wertes

Zunächst wird die Tangente an den Graphen von im Punkt in das Schaubild eingezeichnet.

Die Steigung der Tangente im Punkt kann aus dem Schaubild näherungsweise abgelesen werden. Es gilt

Extrempunkt des Graphen von

Der Graph der Funktion hat im Punkt einen Wendepunkt, der Graph der Ableitung hat daher an der Stelle einen Extrempunkt. Der Graph von ist für linksgekrümmt und für rechtsgekrümmt, das Extremum ist also ein Maximum. Es gilt , also hat der Graph von einen Hochpunkt im Punkt .

Schnittpunkt des Graphen von mit der -Achse

Der Graph von hat an der Stelle einen Tiefpunkt, die Funktion hat an dieser Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach . Außerdem besitzt der Graph von an der Stelle einen Hochpunkt, sodass dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach hat. Die Schnittpunkte des Graphen von mit der -Achse sind und .

Skizze des Graphen von

Der Graph von kann nun skizziert werden, er besitzt einen Hochpunkt im Punkt und verläuft durch die Punkte und . Im folgenden Schaubild sind sowohl der Graph der Funktion durchgezogen als auch der Graph der Funktion gestrichelt dargestellt.

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Der Graph einer Funktion der gegebenen Schar verläuft wegen von unten links nach oben rechts. Es gilt:
    Die Funktion ist eine Funktion dritten Grades und kann daher maximal drei Nullstellen besitzen. Die Graphen der Abbildungen 1 und 2 besitzen jeweils drei Nullstellen im dargestellten Bereich. Das Verhalten im Unendlichen entspricht daher dem Verhalten des Graphen an den Rändern des dargestellten Bereichs, und damit kommt nur der Graph aus Abbildung 2 infrage.
  2. Zunächst wird die erste Ableitung der Funktion bestimmt:
    Die Nullstellen der Ableitung sind gegeben durch:
    Laut Aufgabenstellung soll der Graph der Funktion an der Stelle einen Extrempunkt haben. Es soll also gelten:
    Desweiteren gilt:
    und damit:
    Es gilt also
    Der Graph der Funktion hat an der Stelle einen Tiefpunkt.