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Abi Bayern 2018 Geometrie A1

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Kugel mit Mittelpunkt und Radius .

  1. Bestimmen Sie alle Werte , für die der Punkt auf der Kugel liegt.
    (3 BE)
  2. Die Gerade berührt die Kugel im Punkt . Ermitteln Sie eine mögliche Gleichung von .
    (2 BE)

Aufgabe 2

Für jeden Wert mit ist eine Gerade gegeben durch

, .

  1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von die Koordinaten des Punkts, in dem die -Ebene schneidet.
    (2 BE)
  2. Für genau einen Wert von hat die Gerade einen Schnittpunkt mit der -Achse. Ermitteln Sie die Koordinaten dieses Schnittpunkts.
    (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Der Punkt liegt genau dann auf der Kugel, wenn der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt der Kugel dem Radius entspricht. Zunächst wird also der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt bestimmt. Es gilt:
    Der Radius der Kugel ist laut Aufgabenstellung , und damit liegt der Punkt genau dann auf der Kugel, wenn gilt:
    Diese Gleichung wird quadriert, um die Lösungen zu bestimmen:
    Weil die Gleichung quadriert wurde, muss eine Probe durchgeführt werden, da Quadrieren möglicherweise die eigentliche Lösungsmenge um zusätzliche Werte vergrößert, die aber tatsächlich keine Lösungen sind. Es gilt:
    Beide Werte und sind damit Lösungen der Gleichung. Die beiden Punkte und liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt und Radius .
    Alternativer Weg: Die Kugelgleichung einer Kugel mit Mittelpunkt und Radius ist gegeben durch:
    Durch Einsetzen der Koordinaten von , und des Radius ergibt sich:
    Die beiden Punkte und liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt und Radius .
  2. Die Gerade berührt die Kugel im Punkt . Im nachfolgenden Schaubild ist der Sachverhalt skizziert.

Der Punkt liegt als Berührpunkt von Gerade und Kugel auf der Geraden . Der Richtungsvektor der Geraden muss senkrecht auf dem Verbindungsvektor zwischen Berührpunkt und Mittelpunkt stehen. Es gilt:

Gesucht ist nun ein Vektor, der senkrecht auf steht. Zum Beispiel:
Eine mögliche Gleichung für die Gerade lautet daher:
Alternativer Weg: Eine weitere mögliche Geradengleichung für die Gerade lautet:

Lösung zu Aufgabe 2

Die Gleichung der Geraden ist laut Aufgabenstellung für gegeben durch:

1. Eine Koordinatengleichung der -Ebene ist gegeben durch:
Der Schnittpunkt der Geraden und der -Ebene kann nun bestimmt werden:
Der Wert wird nun in die Geradengleichung eingesetzt, um die vollständigen Koordinaten des Schnittpunktes zu erhalten:
Der Schnittpunkt der Geraden mit der -Ebene ist . 1. Die -Achse hat die Gleichung
Der Schnittpunkt der Geraden mit der -Achse ist gegeben durch die Lösung der Gleichung
Für die erste Koordinate muss also gelten:
Dieser Wert wird in die Gleichung für die zweite Koordinate eingesetzt:
Der Wert wird nun in die Gleichung für die dritte Koordinate eingesetzt:
Die Gerade besitzt einen Schnittpunkt mit der -Achse. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind .