Abi Bayern 2018 Geometrie B2

Aufgabe

Aufgabe

Die Abbildung zeigt modellhaft wesentliche Elemente einer Kletteranlage: zwei horizontale Plattformen, die jeweils um einen vertikal stehenden Pfahl gebaut sind, sowie eine Kletterwand, die an einer der beiden Plattformen angebracht ist.

1. In den Mittelpunkten der oberen und unteren Kante der Kletterwand sind die Enden eines Seils befestigt, das länger ist als der Abstand der genannten Mittelpunkte. Berechnen Sie die Länge des Seils.
   (3 BE)
2. Die Punkte , , und liegen in der Ebene . Ermitteln Sie eine Gleichung von in Normalenform. Zur Kontrolle:
   (4 BE)
3. Zeigen Sie, dass die Kletterwand die Form eines Trapezes hat.
   (2 BE)
4. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Kletterwand mit dem Untergrund einschließt.
   (3 BE)

Über ein Kletternetz kann man von einer Plattform zur anderen gelangen. Die vier Eckpunkte des Netzes sind an den beiden Pfählen befestigt. Einer der beiden unteren Eckpunkte befindet sich an Pfahl 1 auf der Höhe der zugehörigen Plattform, der andere untere Eckpunkt an Pfahl 2 oberhalb der Plattform 2. An jedem Pfahl beträgt der Abstand der beiden dort befestigten Eckpunkte des Netzes . Das Netz ist so gespannt, dass davon ausgegangen werden kann, dass es die Form eines ebenen Vierecks hat.

5. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Netzes und erläutern Sie Ihren Ansatz.
   (3 BE)
6. Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch die Strecke dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Modell hat dieser Eckpunkt die Koordinaten mit einer reellen Zahl . Die untere Netzkante liegt auf der Geraden . Berechnen Sie den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2.
   (5 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Zunächst werden die Mittelpunkte der Strecke und der Strecke

   Die Mittelpunkte der beiden Strecken haben also die Koordinaten
   Der Abstand der beiden Punkte beträgt
   Das Seil ist laut Aufgabenstellung länger als der Abstand der beiden Mittelpunkte. Für die Länge des Seil gilt:
   Die Länge des Seils beträgt also ungefähr .

2. Die Punkte , , und liegen auf der Ebene . Eine Parametergleichung für die Ebene ist gegeben durch

   Ein Normalenvektor der Ebene der Ebene kann mithilfe des Keuzproduktes der beiden Spannvektoren bestimmt werden:
   Eine Gleichung der Ebene in Normalenform lautet damit:
   Dies entspricht dem Kontrollergebnis, denn
   Dies stimmt also mit dem Kontrollergebnis überein.

3. Es gelten:

   Die beiden Vektoren sind also Vielfache voneinander und damit sind zwei Seiten des Vierecks parallel, damit ist das Viereck ein Trapez.

4. Die Normalenvektoren der Ebene und des Untergrundes lauten

   Für den Winkel , den die Kletterwand gegen den Untergrund aufweist, gilt:
   also . Die Kletterwand schließt einen Winkel von ungefähr mit dem Untergrund ein.

5. In der nachfolgenden Skizze ist der Sachverhalt veranschaulicht.

   Das Kletternetz ist trapezförmig und für den Flächeninhalt eines Trapezes mit Länge und Höhe gilt:
   Der Abstand der beiden Pfähle beträgt
   Die beiden Pfähle haben damit einen Abstand von ungefähr . Das Kletternetz ist laut Aufgabenstellung hoch und damit gilt für seinen Flächeninhalt :
   Damit ist das Netz ungefähr groß.

6. Laut Aufgabenstellung liegt die untere Netzkante auf der Geraden mit:

   Die Strecke liegt in der Geraden mit:
   Gesucht ist nun der Schnittpunkt der beiden Geraden und :
   dies führt zu folgendem LGS:
   Aus den ersten beiden Zeilen ergibt sich:
   und damit kann der Wert des Parameters bestimmt werden. Es gilt:
   Der untere Eckpunkt des Netzes am Pfahl 2 hat die Koordinaten . Die Plattform 2 befindet sich über dem Boden und damit beträgt der Abstand des Eckpunktes von der Plattform .