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Besondere Aufgabentypen

Vollständige Induktion

Erklärung

Einleitung

Um mathematische Aussagen mithilfe von Axiomen (Grundsätzen), Regeln und durch nachvollziehbare Schlussfolgerungen beweisen zu können, bedarf es bestimmter mathematischer Beweistechniken. Dazu gehören z. B.

  • der direkte Beweis
  • der indirekte Beweis (Widerspruchsbeweis)
  • der Induktionsbeweis (vollständige Induktion).
In diesem Artikel lernst du die Methode der vollständigen Induktion kennen und anwenden.

Die vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren für Aussagen , die für eine Teilmenge der natürlichen Zahlen gelten. Der Induktionsbeweis gliedert sich in zwei Teile:
  • Den Induktionsanfang: Hier wird die kleinste Zahl, für die die Aussage gezeigt werden soll, eingesetzt und überprüft, ob die Aussage stimmt.
  • Den Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage ist wahr, dann wird in diesem Teil des Beweises die Gültigkeit der Aussage gezeigt.
Für den Nachweis, dass eine Aussage wahr ist, müssen sowohl Induktionsanfang als auch Induktionsschritt korrekt sein. Tipp: Diese Beweisidee lässt sich durch das Umstoßen einer Kette von Dominosteinen veranschaulichen.
Der erste umgeworfene Dominostein symbolisiert den Induktionsanfang. Die Eigenschaft, dass Stein von Stein umgeworfen wird, spiegelt den Induktionsschritt wider.
Nur beide Umstände zusammen lassen die komplette Kette umfallen.

Beweise folgende Aussage : für die -te Ableitung der Funktion gilt:
Die Aussage muss also für alle bewiesen werden.
  • Induktionsanfang: Zeige die Aussage für . Es gilt
    Dies ist aber genau die Aussage . Der Induktionsanfang ist also korrekt.
  • Induktionsschritt: Die Induktionsannahme lautet hier, dass die Aussage stimmt.
    Zu zeigen ist in diesem Schritt, dass dann auch die Aussage stimmt.
    Der Induktionsschritt stimmt damit auch.
  • Da sowohl der Induktionsanfang für als auch der Induktionsschritt korrekt sind, ist die Aussage wahr für alle .

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Zahl für alle gerade ist.

Lösung zu Aufgabe 1

Die Aussage lautet: ist gerade, wobei .

  • Induktionsanfang: ist gerade.
  • Induktionsschritt: Angenommen ist korrekt, dann zeige, dass auch korrekt ist.

    Nach Voraussetzung ist korrekt, das heißt: ist gerade.
  • Da auch immer gerade ist und die Summe zweier gerader Zahlen immer noch gerade ist, stimmt also auch die Aussage .

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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 08. 2019