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Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen

Merksatz

Die Standardform einer gebrochenrationalen Funktion ist gegeben durch:

Dabei sind und ganzrationale Funktionen.
  • Eine Stelle ist Nullstelle der Funktion , falls und gleichzeitig gilt.
  • Ist , so ist eine Definitionslücke von .
  • Gilt und , so ist die Definitionslücke eine Polstelle von .

Beispiel

Gegeben ist die Funktion durch

Die Nullstellen des Zählers sind gegeben durch:
Die Nullstellen des Nenners sind gegeben durch:
Es gilt also:
  • Da die Nullstelle des Zählers keine Nullstelle des Nenners ist, hat an der Stelle eine Nullstelle.
  • Die Funktion hat Definitionslücken bei und . Die Definitionsmenge ist daher gegeben durch:
  • Da die Definitionslücken keine Nullstellen des Zählers sind, hat an den Stellen und Polstellen.

Der Graph von ist im folgenden Schaubild dargestellt.

Merksatz

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken einer gebrochenrationalen Funktion

  • Gilt an einer Stelle
    so hat die Funktion an der Stelle eine Polstelle. Der Graph von hat dort eine senkrechte Asymptote.
    Nähert sich der Polstelle an, so gilt oder .

  • Gilt an einer Stelle

    so kann der Term aus
    gekürzt werden. Falls weiterhin Zähler- und Nennernullstelle ist, muss noch einmal der Term gekürzt werden. Dies wird so lange durchgeführt, bis keine Zähler- oder Nennernullstelle mehr ist.
    Der "gekürzte"Term muss dann erneut auf eine Definitionslücke an der Stelle untersucht werden.
  • Ist nach dem Kürzen weiterhin eine Nennernullstelle, so hat an der Stelle eine Polstelle und der Graph von hat dort eine senkrechte Asymptote.

  • Ist nach dem Kürzen keine Nennernullstelle mehr, so hat an der Stelle eine hebbare Definitionslücke.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion

Die Funktion hat Definitionslücken an den Nullstellen des Nenners, also
Damit ist die Definitionsmenge von :
Der Zähler hat nur die Nullstelle . Daraus folgt:
  • Die Stelle ist eine Nullstelle des Nenners und keine Nullstelle des Zählers. An der Stelle hat also eine Polstelle und der Graph von eine senkrechte Asymptote.
  • Die Stelle ist sowohl eine Nullstelle des Zählers als auch eine Nullstelle des Nenners.
    Also kann der Funktionsterm von gekürzt werden. Mit der dritten Binomischen Formel gilt:
    Im gekürzten Term ist keine Nullstelle des Zählers mehr, damit hat an der Stelle eine hebbare Definitionslücke. Der Graph der Funktion ist im folgenden Schaubild dargestellt.

Merksatz

Das Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion und deren Graph im Unendlichen wird durch deren Zählergrad () und den Nennergrad () bestimmt.


  • In diesem Fall gilt:
    und die -Achse () ist eine waagrechte Asymptote von .
    Zum Beispiel:

  • Sind und die Koeffizienten vor den höchsten Potenzen in Zähler und Nenner, so gilt:
    und hat eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung .
    Zum Beispiel:


  • In diesem Fall gibt es keine waagrechte Asymptote. Ist die Funktionsgleichung von von der Form
    und gilt
    so hat eine schiefe Asymptote mit der Gleichung .
    Zum Beispiel:

  • In diesem Fall gibt es keine waagrechte Asymptote. Im Fall hat eine schiefe Asymptote.
    Um die Gleichung der Asymptote zu bestimmen, führt man eine Polynomdivision (Zähler durch Nenner) durch. Der Teil vor dem Rest beschreibt die Gleichung der schiefen Asymptote von .
    Zum Beispiel:

Aufgabe 1

Warum sind die Nullstellen des Zählers keine Nullstellen der Funktion, wenn sie auch Nullstellen des Nenners sind? Was bedeutet das für die Suche nach Extrem- bzw. Wendestellen?

Lösung zu Aufgabe 1

Die Division durch 0 ist nicht erlaubt. Nullstellen des Nenners sind daher Definitionslücken. Bei der Bestimmung von Extrem- bzw. Wendestellen einer gebrochenrationalen Funktion setzt man bzw. . Es muss überprüft werden, ob die Lösungen dieser Gleichung im Definitionsbereich sind, d. h. keine Nullstellen des Nenners sind.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Die Funktion ist gegeben durch

Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
  1. Die Funktion hat eine Definitionslücke bei .
  2. Die einzige Definitionslücke von liegt bei .
  3. Es gilt .
  4. Die Funktion hat eine Nullstelle bei .
  5. Die Funktion hat eine Polstelle bei .

Lösung zu Aufgabe 2

Die Funktionsgleichung von kann umgeformt werden, denn im Nenner kann die dritte binomische Formel angewendet werden.

Für kann man mit kürzen und erhält
  1. Dies ist wahr, denn ist Nullstelle des Nenners.
  2. Dies ist falsch, denn ist ebenfalls eine Definitionslücke.
  3. Dies ist richtig. Für die Grenzwertbildung kann man die gekürzte Funktion betrachten und dort einsetzen.
  4. Dies ist falsch, denn ist nicht im Definitionsbereich von enthalten.
  5. Dies ist ebenfalls falsch, denn besitzt eine hebbare Definitionslücke an der Stelle .

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben ist die Funktion durch

mit maximalem Definitionsbereich.

Kläre, welche Definitionslücken hebbar sind und bestimme den Funktionsterm einer Funktion , die mit auf dem Definitionsbereich von übereinstimmt und keine hebbaren Definitionslücken aufweist.

Lösung zu Aufgabe 3

Zunächst muss die Funktion auf Standardform gebracht werden, indem man die Brüche addiert. Der gesuchte gemeinsame Nenner ist (dritte binomische Formel). Es gilt:

Die Nullstellen des Nenners kann man direkt ablesen: und .
Die Nullstellen des Zählers werden bestimmt als:

Damit kann der Zähler auch geschrieben werden als
Der Funktionsterm von kann somit gekürzt werden:
Damit gilt für die Funktion :
Der Term einer Funktion , welche mit übereinstimmt und auch an der Stelle definiert ist, ist gerade der gekürzte Bruch. Es gilt also:

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme alle Asymptoten des Graphen von

Lösung zu Aufgabe 4

Nach Aufspalten des Bruches folgt

Es gilt:
Für die Asymptoten des Graphen von gilt:
  • Es gibt eine schiefe Asymptote mit der Gleichung .
  • Weiter ist eine Nullstelle des Nenners aber keine Nullstelle des Zählers. Daher ist eine senkrechte Asymptote des Graphen von .

Aufgabe 5 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme jeweils die Gleichungen der Asymptoten des zugehörigen Graphen:

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Fall : Der Graph von hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung
  2. Fall : Der Graph von hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung
    Die -Achse ist also eine waagrechte Asymptote des Graphen.
  3. Es gilt:
    Damit hat der Graph von eine schiefe Asymptote mit der Gleichung .
  4. Fall : Der Graph von hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung
    Die -Achse ist also eine waagrechte Asymptote des Graphen.

Aufgabe 6 – Schwierigkeitsgrad: *

Untersuche das Verhalten für für folgende Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 6

  1. Fall . Es gilt also:
    Der Graph von hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung (-Achse).
  2. Fall . Es gilt:
    Der Graph von hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung .

Aufgabe 7 – Schwierigkeitsgrad: *

Untersuche das Verhalten für für folgende Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 7

  1. Für die Funktion gilt:
    Vergleicht man Zählergrad und Nennergrad, so sieht man, dass beide und damit identisch sind. Teilt man die Koeffizienten vor durcheinander, erhält man:
    Der Graph von hat damit eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung .
  2. Für die Funktion gilt:
    Der Zählergrad ist und der Nennergrad ist , damit ist der Zählergrad größer als der Nennergrad und es gelten:
    Der Graph von hat damit eine schiefe Asymptote.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018