cross
Integralrechnung

Integration durch Substitution

Erklärung

Wann und wie benutzt man die Integration durch Substitution?

Gesucht ist die Stammfunktion von
Bei der Funktion gibt es eine innere Funktion , deren Ableitung ( in abgewandelter Form außen als Faktor auftritt. Dies ist immer als Signal für eine Substitution zu sehen. Dafür geht man wie folgt vor:
Schritte
  • Schritt 1: Nenne die innere Funktion :
  • Schritt 2: Bestimme die Ableitung von , benutze dabei die Differentialschreibweise und löse nach auf:
  • Schritt 3: Ersetze im Integralausdruck die innere Funktion durch und das durch den Ausdruck aus dem letzten Schritt:
  • Schritt 4: Bilde die Stammfunktion der substituierten Funktion:
  • Schritt 5: Führe die Rücksubstitution durch. Ersetze dabei durch den Term aus Schritt 1, d.h. durch die ursprüngliche innere Funktion.

Hinweis
Die Differentialschreibweise ist eine altmodische Schreibweise für die Ableitung einer Funktion . Dabei schreibt man
Der Zähler benennt was abgeleitet wird, der Nenner benennt wonach abgeleitet wird. Da man mit und wie mit Variablen rechnen kann, ist diese Schreibweise eine praktische Merkhilfe für die Substitution.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Finde jeweils eine Stammfunktion von :

Lösung zu Aufgabe 1

  1. .
  2. .
  3. Man führt zunächst folgende Umformung durch:
    Dann erhält man durch Substitution folgendes Ergebnis
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Finde jeweils eine Stammfunktion zu folgenden Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Finde jeweils eine Stammfunktion von :

Lösung zu Aufgabe 3

  1. .

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Menge aller Stammfunktionen der folgenden Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 4

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Finde jeweils eine Stammfunktion zu folgenden Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 5

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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 15. 05. 2018