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Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale

Merksatz

Eine Fläche kann ins Unendliche reichen und dennoch endlichen Flächeninhalt besitzen. In diesem Fall spricht man von einem uneigentlichen Integral. Im nachfolgenden Beispiel reicht die Fläche in Richtung der x-Achse unendlich weit. Dennoch könnte der Flächeninhalt endlich sein:

Rezept --- Berechnung uneigentliches Integral

Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der -Achse für .

  • Schritt 1: Führe eine variable rechte Grenze ein und stelle einen Term für den Flächeninhalt auf:
  • Schritt 2: Berechne das Integral in Abhängigkeit von :
  • Schritt 3: Bestimme den Grenzwert für :

Der Flächeninhalt beträgt genau .

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Überprüfe, ob folgende Funktionen im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der -Achse einschließen. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Betrachte
    Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt:
  2. Mit der selben Vorgehensweise erhalten wir hier:
    Hier gilt jedoch
    Daher ist der eingeschlossenen Flächeninhalt nicht endlich groß.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: ***

Ein Heliumballon startet am Erdboden senkrecht nach oben. Seine Geschwindigkeit lässt sich durch die Funktion beschreiben.

Dabei ist in Stunden nach Start und in angegeben.
  1. Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Ballon zu Beginn?
  2. Zeige, dass sich der Ballon zu jedem Zeitpunkt aufwärts bewegt.
  3. Welche Höhe kann der Ballon maximal erreichen?
  4. Wie lange dauert es, bis der Ballon die Hälfte der Maximalhöhe erreicht hat Welche Geschwindigkeit hat er zu diesem Zeitpunkt?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. .
  2. Der Nenner von ist eine binomische Formel. Daher gilt:
    Nun erkennt man, dass stets gilt. Also ist die Geschwindigkeit stets positiv und der Ballon bewegt sich daher immer aufwärts.
  3. Für die Höhe zum Zeitpunkt gilt:
    Da beträgt die maximale Steighöhe des Ballons . Diese Höhe wird der Ballon allerdings nie erreichen, er wird sich dieser nur beliebig nahe annähern.
  4. Gesucht ist der Zeitpunkt , für den gilt. Mit den Ergebnissen der letzten Teilaufgabe folgt:
    Nach einer Stunde hat der Ballon die halbe Maximalhöhe erreicht. Seine Geschwindigkeit beträgt dann

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

Überprüfe, ob folgende Funktionen im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der -Achse einschließen. Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Betrachte
    Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt:
  2. Mit der selben Vorgehensweise erhalten wir hier:
    Hier gilt jedoch
    Daher ist der eingeschlossene Flächeninhalt nicht endlich groß.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018