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Extrempunkte

Extrempunkte

Merksatz

Für eine Funktion und den dazugehörigen Graphen gelten folgende Aussagen.

  • Der Graph hat an der Stelle genau dann eine Extremstelle, wenn die Ableitung an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) hat.
  • Falls eine Extremstelle von ist, so gilt . Allerdings kann auch gelten, ohne dass eine Extremstelle von ist.
  • Gilt und , so ist eine Extremstelle von . Allerdings kann auch gelten und ist trotzdem eine Extremstelle von .
  • Gilt , und , so hat an der Stelle keine Extremstelle. Dann ist ein Sattelpunkt / Terassenpunkt von .
  • Hat die Funktion an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach , so hat an der Stelle einen Tiefpunkt.
  • Hat die Funktion an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach , so hat an der Stelle einen Hochpunkt.

Beispiel

Für zwei Funktionen und sind im folgenden Schaubild die Graphen der Ableitungen beziehungsweise abgebildet.

Aus dem Schaubild von kann abgelesen werden:
  • Der Graph der Ableitung von wechselt zweimal das Vorzeichen.
  • Beim VZW von nach an der Stelle besitzt der Graph von ein Maximum .
  • Beim VZW von nach an der Stelle besitzt der Graph von ein Minimum .

Aus dem Schaubild von kann abgelesen werden:

  • Der Graph der Ableitung von hat an der Stelle zwar eine Nullstelle, aber keinen Vorzeichenwechsel.
  • Der Graph von besitzt an der Stelle einen Sattelpunkt / Terrassenpunkt .

Nun können die Graphen von beziehungsweise skizziert werden.

Berechnung von Extremstellen

Gegeben ist die Funktion mit

Der Graph der Funktion wird mit bezeichnet.
Bestimme alle Extremstellen von .
  • Schritt 1: Bestimme die Ableitung von . Es gilt:
  • Schritt 2: Berechne die Nullstelle von :
  • Schritt 3: Untersuche, ob und welche Art von Extremum vorliegt.

    • Lösungsweg mit :
      Bestimme zunächst die zweite Ableitung von . Es gilt:
      und damit
      Der Graph von hat also bei ein Minimum.
    • Lösungsweg mit VZW:
      Untersuche, ob die Ableitung an der Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist. Setze in die Ableitung je einen Wert etwas links und etwas rechts von der Nullstelle von ein. Vergleiche die Vorzeichen.
      Es gelten:
      Damit hat die Ableitung an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach und der Graph von an dieser Stelle ein Minimum.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: *

Bestimme (falls vorhanden) jeweils alle Extrempunkte der, zu den folgenden Funktionen gehörenden, Graphen:

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Bestimmung der Ableitung
    Leite die Funktion ab:
    Bestimmung der Nullstelle
    Berechne die Nullstelle von :
    Untersuchung der Art des Extremums
    Untersuche, ob und welche Art von Extremum vorliegt.
    • Lösungsweg mit :
      Es gilt:
      Da
      ist der Test mit der zweiten Ableitung erfolglos und es muss der Lösungsweg mit VZW eingeschlagen werden. An der Stelle gilt jedoch:
      Also besitzt der Graph von an der Stelle ein Minimum.
    • Lösungsweg mit VZW:
      Hier werden Werte links und rechts von den Nullstellen eingesetzt und die jeweiligen Funktionswerte für verglichen. Es gilt:
      An der Stelle wechselt das Vorzeichen von nach . Deshalb liegt dort ein Maximum vor. An der Stelle wechselt das Vorzeichen von nach . Daher liegt dort ein Minimum vor. Jetzt können noch die -Werte der Extremstellen bestimmt werden:
      Damit hat der Graph von den Hochpunkt und den Tiefpunkt .
  2. Lösungsweg wie in Teil (a):

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben ist die Funktionenschar

Für welchen Parameter ist der Wert des Tiefpunktes der Funktion am kleinsten?

Lösung zu Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktionenschar und gesucht ist der Parameter , für den der Wert des Tiefpunktes von am kleinsten ist.
Es wird zuerst die Ableitung von bestimmt und gleich Null gesetzt:

Mit dem VZW-Kriterium wird nachgewiesen, dass an der Stelle ein Tiefpunkt ist. Nun wird bestimmt für welches die Funktion
minimal wird. Zuerst wird die Ableitung bestimmt und gleich Null gesetzt:
Die Funktionenschar nimmt also für den kleinsten Wert an der Stelle an. An dieser Stelle befindet sich jeweils der Tiefpunkt.

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: **

Gegeben ist für eine Funktionenschar durch

Für welches nimmt die Funktion an der Stelle den kleinsten Wert an?

Lösung zu Aufgabe 3

Gesucht ist der Wert des Parameters für welchen der Wert von am kleinsten ist. Hierzu wird zunächst eine Funktion definiert durch:

Gesucht ist also diejenige Stelle , an welcher der Graph von ein Minimum besitzt. Hierzu wird die Nullstelle der Ableitung bestimmt. Es gilt:
Und damit:
Mit dem VZW-Kriterium kann nachgewiesen werden, dass an der Stelle
ein Minimum vorliegt.
Innerhalb der Funktionenschar ist der Funktionswert an der Stelle für den Parameter am kleinsten.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018