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Kurvendiskussion

Extrempunkte

Erklärung

Was ist ein Punkt?

Ein Punkt auf einem Funktionsgraphen besteht aus: einer Stelle (x-Wert) und einem Wert (y-Wert). Die Kombination aus Stelle und Wert definiert einen Punkt, geschrieben Punkt . Die Gesamtheit der Punkte einer Funktion ergeben den Funktionsgraphen.

Extrempunkt, Extremstelle und Extremwert

Die obere Erklärung zum Punkt gilt analog für Extrempunkte. Ein Extrempunkt wird demnach durch eine Extremstelle und einen Extremwert beschrieben, Extrempunkt (Extremstelle|Extremwert).

Was ist ein Extrempunkt?

Ein Extrempunkt ist entweder der höchste oder der tiefste Punkt auf einem Intervall des Funktionsgraphen. Handelt es sich um den höchsten Punkt, spricht man von einem Maximum oder Hochpunkt. Geht es um den tiefsten Punkt, handelt es sich um ein Minimum oder einen Tiefpunkt.

Je nachdem wie man das Intervall wählt, kann es sich bei einem Extrempunkt um ein lokales Minimum/Maximum (auch relatives Minimum/Maximum genannt), oder um ein golables Minimum/Maximum (auch absolutes Minimum/Maximum genannt) handeln. Betrachtet man die Funktion auf dem Definitionsbereich , erhält man folgenden Graphen:

Für den Definitionsbereich gilt als globales Minimum. Für das Intervall ist das lokale Minimum. Man beachte, dass ein Extrempunkt immer mit einem Richtungswechsel des Graphen einhergeht (steigend fallend oder fallend steigend).

Extrempunkt-Metapher

Wenn dir die vorherige Erklärung etwas zu mathematisch war, hilft dir die folgende Metapher vielleicht, das Thema besser zu verstehen.

Wenn wir uns den Graphen einer Funktion als Gebirge vorstellen, dann sind Extrempunkte einer Funktion die Punkte, an denen das Gebirge entweder einen Gipfel oder ein Tal hat. Dort wo die Funktion zunächst steigt und dann fällt, hat es einen Gipfel (Hochpunkt), dort wo sie zunächst fällt und dann steigt, hat es ein Tal (Tiefpunkt).

Nun hat das Gebirge - das aus mehreren Bergen besteht - mehrere Gipfel und Täler. Der höchste Gipfel des gesamten Gebirges wird als golables Maximum (auch absolutes Maximum) beschrieben. Schaut man sich einen einzelnen Berg an, würde man bei dessen Gipfel von einem lokalen Maximum (auch relatives Maximum) sprechen. Die gleiche Überlegung gilt für globale und lokale Minima.

Extrempunkt berechnen

Wenn du den Graphen einer Funktion kennst, ist es einfach einen Extrempunkt zu erkennen. Doch was tun, wenn der Graph nicht gegeben ist?

Um einen Extrempunkt zu finden, berechnen wir zuerst die Steigung der Funktion. Informationen über die Steigung eines Graphen erhalten wir über die Ableitung. Zur Erinnerung:

  • Positive Ableitung Graph steigt.
  • Negative Ableitung Graph fällt.
  • Ableitung Graph steigt oder fällt nicht.
Ein Extrempunkt zeichnet sich dadurch aus, dass der Graph einen Richtungswechsel vollzieht (steigend fallend oder fallend steigend). Wenn ein Graph seine Richtung ändert, gibt es genau einen Punkt an dem er weder steigt noch fällt. Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt lautet also . Diese notwendige Bedingung reicht aber noch nicht, um zu beweisen, dass es sich um einen Extrempunkt handelt. Zur Erläuterung, schauen wir uns folgenden Graphen an:
Für beide Punkte und gilt . Nun ist aber nur ein Extrempunkt. Der Punkt wird Terrassenpunkt oder auch Sattelpunkt genannt. Er zeichnet sich dadurch aus, dass der Graph seine Richtung nicht ändert. Um die Existenz eines Extrempunkts zu beweisen, müssen wir also nicht nur eine, sondern zwei Bedingungen überprüfen:
  • (notwendige Bedingung)
  • Der Graph ändert seine Richtung (hinreichende Bedingung)
Um zu erkennen ob der Graph seine Richtung ändert oder nicht (hinreichende Bedingung), hat man wiederum zwei Möglichkeiten: die zweite Ableitung der Funktion und das Vorzeichenwechselkriterium.

Zweite Ableitung

Gehen wir davon aus, dass wir die Funktion abgeleitet und die Nullstelle berechnet haben. Die Stelle ist somit unser Extremstellen-Kandidat.

Um zu überprüfen, ob eine Extremstelle ist, leiten wir die Funktion ein zweites Mal ab und erhalten . Nun setzten wir in ein. Wenn , handelt es sich um eine Extremstelle. Außerdem gilt:

  • Bei handelt es sich um einen Hochpunkt.
  • Bei handelt es sich um einen Tiefpunkt.
Achtung! Es kann sich obwohl ist, um eine Extremstelle handeln. Die Funktion zum Beispiel, hat die Ableitung und den Extremwert-Kandidaten . Überprüft man nun die zweite Ableitung, erhält man . Trotzdem ist eine Extremstelle.
Wenn die zweite Ableitung an der untersuchten Stelle ist, wendet man zusätzlich das Vorzeichenwechsel-Kriterium (auch Vorzeichenvergleich genannt) an.

Vorzeichenwechsel-Kriterium

Gehen wir wieder einmal davon aus, dass wir die Funktion abgeleitet und die Nullstelle berechnet haben. Die Stelle ist somit unser Extremstellen-Kandidat.

Um das Vorzeichenwechsel-Kriterium zu überprüfen, gehen wir nun wie folgt vor: Wir suchen uns zwei Stellen in der Nähe von aus, zum Beispiel und . Nun setzen wir und in die erste Ableitung ein und überprüfen das Vorzeichen.

-Wert
Wert von
Vorzeichen von

Da das Vorzeichen sich in diesem Beispiel ändert, handelt es sich um den Punkt bei um einen Extrempunkt.

  • Hat die Funktion an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach , so hat an der Stelle einen Tiefpunkt.
  • Hat die Funktion an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach , so hat an der Stelle einen Hochpunkt.

  • Funktion ableiten.
  • Nullstellen der Ableitung berechnen. Die gefundenen Nullstellen sind Kandidaten für Extrempunkte.
  • Werte in der Nähe der gefundenen Nullstellen in die Ableitung einsetzen und prüfen, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Extrempunkt-Ablaufdiagramm

Bei der Überprüfung von notwendiger und hinreichender Bedingung kann man schnell den Überblick verlieren. Damit das nicht passiert, haben wir dir einen Ablaufplan gemalt.

Extrempunkte graphisch bewerten

Für zwei Funktionen und sind im folgenden Schaubild die Graphen der Ableitungen beziehungsweise abgebildet.

Aus dem Schaubild von kann abgelesen werden:
  • Der Graph der Ableitung von wechselt zweimal das Vorzeichen.
  • Beim VZW von nach an der Stelle besitzt der Graph von ein Maximum .
  • Beim VZW von nach an der Stelle besitzt der Graph von ein Minimum .
Aus dem Schaubild von kann abgelesen werden:
  • Der Graph der Ableitung von hat an der Stelle zwar eine Nullstelle, aber keinen Vorzeichenwechsel.
  • Der Graph von besitzt an der Stelle einen Sattelpunkt / Terrassenpunkt .
Nun können die Graphen von beziehungsweise skizziert werden.

Berechnungsbeispiel

Gegeben ist die Funktion mit

Der Graph der Funktion wird mit bezeichnet. Bestimme alle Extremstellen von .

Im Abitur werden Extrempunkte einer Funktion meist in einem Sachzusammenhang abgefragt. Typischerweise werden Schlagworte wie “am Höchsten”, “maximal” oder “minimal” gebraucht.

  • Schritt 1: Bestimme die Ableitung von . Es gilt:
  • Schritt 2: Berechne die Nullstelle von :
  • Schritt 3: Untersuche, ob und welche Art von Extremum vorliegt.
Lösungsweg mit : Bestimme zunächst die zweite Ableitung von . Es gilt:
und damit
Der Graph von hat also bei ein Minimum.

Lösungsweg mit VZW: Untersuche, ob die Ableitung an der Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist. Setze in die Ableitung je einen Wert etwas links und etwas rechts von der Nullstelle von ein. Vergleiche die Vorzeichen. Es gelten:
Damit hat die Ableitung an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach und der Graph von an dieser Stelle ein Minimum.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme (falls vorhanden) jeweils alle Extrempunkte der, zu den folgenden Funktionen gehörenden, Graphen:

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Bestimmung der Ableitung Leite die Funktion ab:
    Bestimmung der Nullstelle Berechne die Nullstelle von :
    Untersuchung der Art des Extremums Untersuche, ob und welche Art von Extremum vorliegt.

- Lösungsweg mit : Es gilt:

Da
ist der Test mit der zweiten Ableitung erfolglos und es muss der Lösungsweg mit VZW eingeschlagen werden. An der Stelle gilt jedoch:
Also besitzt der Graph von an der Stelle ein Minimum. - Lösungsweg mit VZW: Hier werden Werte links und rechts von den Nullstellen eingesetzt und die jeweiligen Funktionswerte für verglichen. Es gilt:
An der Stelle wechselt das Vorzeichen von nach . Deshalb liegt dort ein Maximum vor. An der Stelle wechselt das Vorzeichen von nach . Daher liegt dort ein Minimum vor. Jetzt können noch die -Werte der Extremstellen bestimmt werden:
Damit hat der Graph von den Hochpunkt und den Tiefpunkt . 1. Lösungsweg wie in Teil (a):

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Funktionenschar

Für welchen Parameter ist der Wert des Tiefpunktes der Funktion am kleinsten?

Lösung zu Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktionenschar und gesucht ist der Parameter , für den der Wert des Tiefpunktes von am kleinsten ist. Es wird zuerst die Ableitung von bestimmt und gleich Null gesetzt:

Mit dem VZW-Kriterium wird nachgewiesen, dass an der Stelle ein Tiefpunkt ist. Nun wird bestimmt für welches die Funktion
minimal wird. Zuerst wird die Ableitung bestimmt und gleich Null gesetzt:
Die Funktionenschar nimmt also für den kleinsten Wert an der Stelle an. An dieser Stelle befindet sich jeweils der Tiefpunkt.

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist für eine Funktionenschar durch

Für welches nimmt die Funktion an der Stelle den kleinsten Wert an?

Lösung zu Aufgabe 3

Gesucht ist der Wert des Parameters für welchen der Wert von am kleinsten ist. Hierzu wird zunächst eine Funktion definiert durch:

Gesucht ist also diejenige Stelle , an welcher der Graph von ein Minimum besitzt. Hierzu wird die Nullstelle der Ableitung bestimmt. Es gilt:
Und damit:
Mit dem VZW-Kriterium kann nachgewiesen werden, dass an der Stelle
ein Minimum vorliegt. Innerhalb der Funktionenschar ist der Funktionswert an der Stelle für den Parameter am kleinsten.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 08. 06. 2018