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Kurvendiskussion

Graphen verschieben und spiegeln

Erklärung

Einleitung

In diesem Artikel erklären wir euch wie wir Graphen verschieben und spiegeln.

Verschiebung in y-Richtung

Um einen Graphen entlang der -Achse um den Abstand zu verschieben, muss der Abstand auf den Funktionsterm addiert bzw. subtrahiert werden. Das heißt, wir addieren um den Graphen nach oben zu verschieben und subtrahieren um den Graphen nach unten zu verschieben. Beispiel: Möchte man die Parabel, die zur Funktion gehört, beispielsweise um Einheiten nach oben schieben, addiert man dem Funktionsterm hinzu und erhält somit den Term für den verschobenen Graphen. Dieser Funktionsterm gehört zum verschobenen Graphen.

Für und den Graphen einer Funktion gilt: Verschiebung auf der -Achse:

Verschiebung in x-Richtung

Um den Graphen von in -Richtung zu verschieben, addiert bzw. subtrahiert man nicht vom Funktionsterm sondern vom Argument der Funktion.

Für die Verschiebung des Graphen entlang der -Achse sind die Vorzeichen vertauscht. Möchte man also den Graphen nach rechts schieben, subtrahiert man und möchte man den Graphen nach links schieben, addiert man .

Beispiel: Möchte man die Parabel, die zur Funktion gehört, um Einheiten nach rechts verschieben, so muss die von jedem abgezogen werden. Das heißt, man ersetzt jedes der Funktion durch und erhält somit als neue Funktion . Dieser Funktionsterm gehört zum verschobenen Graphen.

Achtet auf Potenzen! Die Potenzen müssen wie im Beispiel außen stehen, da das durch ersetzt wird.

Das ganze noch einmal in einem Merksatz zusammengefasst:

Für und den Graphen einer Funktion gilt: Verschiebung auf der -Achse:

Beispiel: Sei . Der Graph dieser Funktion soll um nach rechts und um nach oben verschoben werden. Der verschobene Graph gehört zur Funktion . Dann gilt:

Spiegelung entlang der x-Achse

Möchte man einen Graphen entlang der -Achse spiegeln, so muss der Funktionsterm mit multipliziert werden. Beispiel: Soll die Parabel, die zur Funktion gehört, an der -Achse gespiegelt werden, so erhält man den Graphen der Funktion .

Spiegelung entlang der y-Achse

Möchte man einen Graphen entlang der -Achse spiegeln, so muss im Funktionargument jedes durch ersetzt werden. Beispiel: Soll die Parabel, die zur Funktion gehört, an der -Achse gespiegelt werden, so erhält man den Graphen der Funktion .

Spiegelung am Ursprung

Möchte man einen Graphen am Ursprung spiegeln, so wird der Funktionsterm zunächst mit multipliziert und dann das Argument der Funktion durch ersetzt. Beispiel: Soll die Parabel, die zur Funktion am Ursprung gespiegelt werden, so erhält man im ersten Schritt durch die Multiplikation mit den Term und im zweiten Schritt durch Ersetzen von durch den Term .

Beim Spiegeln muss man besonders auf die Klammersetzung und die Vorfahrtsregeln achten.

Zusammenfassung

Das Ganze noch einmal zusammengefasst:

  • Spiegelt man den Graphen von an der -Achse, so erhält man den Graphen, der zur Funktion gehört.
  • Spiegelt man den Graphen von an der -Achse, so erhält man den Graphen, der zur Funktion gehört.
  • Spiegelt man den Graphen von am Ursprung, so erhält man den Graphen, der zur Funktion gehört.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:
  1. Bestimme den Funktionsterm der Funktion , deren Graph man erhält, indem man den Graphen der Funktion mit
    um Längeneinheiten nach rechts und um eine Längeneinheit nach oben verschiebt.
  2. Verschiebe den Graphen der Funktion um jeweils eine Längeneinheit nach unten und nach links und gib den Funktionsterm der resultierenden Funktion an.
  3. Der Graph der Funktion mit
    wird um Längeneinheiten nach links und um eine Längeneinheit nach oben verschoben. Ermittle den Funktionsterm der resultierenden Funktion.
  4. Den Graphen der Funktion mit erhält man, indem man den Graphen der Funktion jeweils um zwei Längeneinheiten nach rechts und nach oben verschiebt. Ermittle den Funktionsterm .

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Gegeben ist und gesucht ist die Funktionsgleichung der um nach rechts und um nach oben verschobenen Funktion. Es gilt:
  2. .
  3. .
  4. Gegeben ist und gesucht ist der Term einer Funktion , deren Graph aus dem Graphen von durch eine Verschiebung um nach links und um nach unten hervorgeht. Es muss also gelten:

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Spiegle die Graphen der folgenden Funktionen an der -Achse und bestimme den Funktionsterm der zugehörigen Funktion. Vereinfache den entstehenden Funktionsterm so weit wie möglich.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Gegeben ist . Der Graph von wird an der -Achse gespiegelt und gesucht ist der Funktionsterm , welcher zu diesem gespiegelten Graphen gehört. Es gilt:
  2. .
  3. .

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Spiegle die Graphen der folgenden Funktionen an der -Achse und bestimme den Funktionsterm der zugehörigen Funktion. Vereinfache den entstehenden Funktionsterm so weit wie möglich.

Was fällt bei den letzten beiden Teilaufgaben auf?

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Gegeben ist . Der Graph von wird an der -Achse gespiegelt und gesucht ist der Funktionsterm , welcher zum gespiegelten Graphen gehört. Es gilt:
  2. .
  3. Es gilt:
    Es fällt auf, dass gilt: , d. h. der Graph von ist achsensymmetrisch.
  4. Es gilt:
    Es fällt auf, dass gilt: , d. h. der Graph von ist achsensymmetrisch.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 28. 03. 2018