cross

Monotonie

Monotonie

Merksatz

Gegeben ist eine Funktion mit zugehörigem Graphen . Das Monotonieverhalten von lässt sich wie folgt an der ersten Ableitung ablesen:

Die Monotonie von kann sich nur an Definitionslücken von und Nullstellen von ändern.

Beispiel

Der Graph der Funktion ist auf ganz monoton steigend, denn:

Der Graph der Funktion ist im Bereich monoton fallend, denn:

Die Graphen der entsprechenden Funktionen sind in den nachfolgenden Schaubildern abgebildet.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Ein Patient nimmt zweimal täglich zu einer festgelegten Uhrzeit ein Medikament ein. Die Konzentration des Medikaments im Blut kann näherungsweise durch eine Funktion bestimmt werden ( in Stunden nach der ersten Einnahme, in ).
Bekannt über den Verlauf des Graphen der Funktion ist nur, dass er den Hochpunkt und den Tiefpunkt besitzt. Was lässt sich über das Monotonieverhalten des Graphen von sagen? Wie lassen sich die Ergebnisse im Sachkontext deuten?

Lösung zu Aufgabe 1

Es hilft eine Skizze mit einem Startpunkt und den beiden Extrempunkten:

Da der Patient bei das Medikament einnimmt ist der Graph von zunächst bis zum Zeitpunkt monoton steigend. Von da an wird das Medikament im Blut wieder abgebaut, die Konzentration sinkt also, sodass im Bereich monoton fallend ist.
Nach Stunden nimmt der Patient das Medikament dann zum zweiten Mal wieder ein, sodass der Graph von wieder monoton steigt.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: *

Ein Medikament wird durch eine Tropfinfusion zugeführt. Die Wirkstoffmenge im Blut des Patienten wird beschrieben durch die Funktion

mit in Minuten nach Infusionsbeginn und in . Zeige, dass die Wirkstoffmenge im Blut stets zunimmt.

Lösung zu Aufgabe 2

Es wird zunächst die Ableitung der Funktion bestimmt und diese auf Vorzeichen untersucht. Es gilt:

Damit ist der Graph von überall monoton steigend, was bedeutet, dass die Wirkstoffmenge im Blut stets zunimmt.

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

Untersuche folgende Funktionen auf Monotonie:

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Die Ableitung von sieht aus wie folgt:
    Zunächst werden die Nullstellen der Ableitung bestimmt, also die Lösungen der Gleichung
    Es gilt:
    und somit sind die Nullstellen der Ableitung nach dem Satz vom Nullprodukt gegeben durch:
    Es gibt also drei Intervalle, auf denen der Graph der Funktion jeweils monoton ist:
    Dafür kann man einen beliebigen Wert aus dem Intervall nehmen, am besten einen Wert, mit dem es sich leicht rechnen lässt, und überprüfen, ob die Ableitung an dieser Stelle positiv oder negativ ist. Da die Ableitung stetig ist und im entsprechenden Intervall keine weitere Nullstelle liegt, muss der Ableitung dann im ganzen Intervall ebenfalls positiv oder negativ sein.
    Damit ist der Graph von streng monoton steigend in den Intervallen und sowie streng monoton fallend im Intervall .
  2. Die Ableitung von ist gegeben durch
    Die Nullstellen der Ableitung bestimmt man mit der --Formel / Mitternachtsformel:
    Die Nullstellen sind die Lösungen der Gleichung

Da unter der Wurzel ein negativer Ausdruck steht, gibt es keine Lösung und somit keine Nullstelle. Damit ist die Funktion entweder auf ganz streng monoton fallend oder streng monoton steigend. Man kann wieder den Funktionswert der Ableitung an einer beliebigen Stelle berechnen. Es gilt:

Der Graph der Funktion ist auf ganz streng monoton steigend.

Aufgabe 4

Gegeben ist für eine Funktionenschar durch

Untersuche den Graphen von auf Monotonie.

Lösung zu Aufgabe 4

Wenn man die Ableitung bildet, leitet man nach ab und behandelt den Parameter wie eine Zahl. Es gilt:

Als nächstes bestimmt man die Nullstellen der Ableitung:
Eine Division durch ist erlaubt, weil gefordert wurde, also insbesondere gelten muss.
Hätte man dies nicht vorausgesetzt, hätte man den Fall gesondert untersuchen müssen, da man nicht durch teilen darf.
Man erhält folglich zwei Intervalle, die man jeweils auf Monotonie untersuchen muss:
Da gilt, ist eine negative Zahl und es kann als Testwert untersucht werden:
Also ist der Graph von auf dem Intervall streng monoton steigend.
Weil gilt, ist ein Testwert im anderen Intervall:
Damit ist der Graph von auf dem Intervall streng monoton fallend.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018