cross

Wendepunkte

Wendepunkte

Merksatz

Für eine Funktion und den zugehörigen Graphen gelten folgende Aussagen:

  • Der Graph hat an der Stelle genau dann eine Wendestelle, wenn die zweite Ableitung an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) hat.
  • Falls eine Wendestelle von ist, so gilt .
    Allerdings kann sein, ohne dass eine Wendestelle von ist.
  • Gilt und , so ist eine Wendestelle von .
    Allerdings kann auch sein und ist trotzdem eine Wendestelle von .
    Wendestellen von sind genau die Extremstellen des Graphen von . Daher genügt es, Extremstellen berechnen zu können, um Wendestellen zu berechnen.

Beispiel

Für zwei Funktionen und sind im folgenden Schaubild die Graphen der zweiten Ableitungen beziehungsweise abgebildet.

Aus dem Schaubild von kann abgelesen werden:
  • Der Graph von wechselt an der Stelle das Vorzeichen.
  • Der Graph von besitzt damit an der Stelle einen Wendepunkt. Aus dem Schaubild von kann abgelesen werden:
  • Der Graph von hat an der Stelle zwar eine Nullstelle, jedoch ohne Vorzeichenwechsel.
  • Der Graph von hat an der Stelle keinen Wendepunkt, sondern einen sogenannten Flachpunkt (Dieser Begriff wird im Abi nicht abgefragt). In diesem Fall gilt auch .

Nun können die Graphen der Funktionen beziehungsweise skizziert werden.

Rezept

Gegeben ist die Funktion mit

Der Graph der Funktion wird mit bezeichnet. Bestimme alle Wendestellen von .
  • Schritt 1: Bestimme die ersten beiden Ableitungen von . Es gelten:
  • Schritt 2: Berechne die Nullstellen von :

    • Untersuche, ob tatsächlich eine Wendestelle vorliegt.
      • Lösungsweg mit :
        Bestimme zunächst die dritte Ableitung von . Es gilt:
        und damit
        Der Graph von hat also bei eine Wendestelle.
      • Lösungsweg mit VZW:
        Untersuche, ob die Ableitung an der Stelle einen Vorzeichenwechsel aufweist. Setze in die Ableitung je einen Wert etwas links und etwas rechts von der Nullstelle von ein. Vergleiche die Vorzeichen:
        Damit hat die zweite Ableitung and er Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und der Graph von an dieser Stelle eine Wendestelle.

Aufgabe 1 – Schwierigkeitsgrad: **

Ein Patient bekommt ein Medikament verabreicht. Die Wirkstoffmenge im Blut wird beschrieben durch:

mit in Stunden nach Verabreichung und in . Zu welchem Zeitpunkt nimmt die Wirkstoffmenge am schnellsten ab?

Lösung zu Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion . Gesucht ist der Ort minimaler Steigung (entspricht Wendepunkt).
Lösungsweg wie im Rezept:
Leite zweimal ab:

Berechne die Nullstelle von :
Untersuche, ob tatsächlich eine Wendestelle vorliegt.
Untersuche dafür .
Somit ist die Steigung des Graphen von an der Stelle minimal. Die Wirkstoffmenge nimmt ungefähr nach 2 Stunden und 46 Minuten am stärksten ab.

Aufgabe 2 – Schwierigkeitsgrad: **

Untersuche, ob die Funktion einen Wendepunkt im Intervall hat.

Lösung zu Aufgabe 2

Lösungsweg wie im Rezept:
Leite zweimal ab:

Berechne die Nullstelle von .
Da und nicht in dem vorgegebenen Intervall liegen, ist der einzige potenzielle Wendepunkt innerhalb des Intervalls bei .
Untersuche, ob tatsächlich eine Wendestelle vorliegt.
Untersuche dafür .
Einsetzen in gibt:
Damit hat der Graph von im Intervall den Wendepunkt .

Aufgabe 3 – Schwierigkeitsgrad: *

Berechne die Wendepunkte folgender Funktionen:

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Lösungsweg wie im Rezept:
    Leite zweimal ab:
    Berechne die Nullstelle von :
    Untersuche, ob tatsächlich eine Wendestelle vorliegt.
    Untersuche dafür :
    Anschließend wird noch der Funktionswert an der Stelle bestimmt:
    hat einen Wendepunkt bei .
  2. Lösungsweg wie in Teil (a): hat einen Wendepunkt bei .
  3. Lösungsweg wie in Teil (a): Die Wendepunkte des Graphen von sind gegeben durch:
  4. Lösungsweg wie in Teil (a): Der Graph von hat Wendepunkte bei

Aufgabe 4 – Schwierigkeitsgrad: **

Bestimme die Wendetangente der Funktion

Lösung zu Aufgabe 4

Die zweite Ableitung ist . Nullsetzen der 2. Ableitung liefert . Weiter gilt:

Nun muss noch die Tangente in diesem Punkt berechnet werden. Es gilt
Einsetzen des Punkts in den Tangentenansatz liefert
Die Gleichung der gesuchten Tangente lautet .

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 20. 02. 2018